Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 28 июля 2019 г.

Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів

ВІДЕО УРОК

Тригонометричні функції кутів

0 (0°), ^π/₂ (90°), π (180°), ^3π/₂ (270°).

Візьмемо прямокутну систему координат. візьмемо точки Е₁(1, 0) і Е₂(0, 1)

і точки

симетричні точкам Е₁ і Е₂ щодо початку координат.

Візьмемо кут α = 0 (або 0°). Цьому кутку відповідає рухливий ОЕ₁, так як один з кутів, складених радіусом ОЕ₁ с віссю Ох, дорівнює нулю. Координати точки Е₁ рівні:

х = 1, у = 0,

тому

sin 0 = sin 0° = у = 0,

cos 0 = cos 0° = х = 1,

tg 0 = tg 0° = ^у/_х = ⁰/₁ = 0,

сtg 0 або сtg 0° не існує.

Візьмемо кут α = ^π/₂ (або 90°). Цьому кутку відповідає рухомий радіус ОЕ₂, так як один з кутів, утворених з віссю Ох рухомим радіусом ОЕ₂, дорівнює ^π/₂ (або 90°).

координати точки Е₂ рівні:

х = 0, у = 1,

тому

sin ^π/₂ = sin 90° = у = 1,

cos ^π/₂ = cos 90° = х = 0,

tg ^π/₂ або tg 90° не існує,

сtg ^π/₂ = сtg 90° = ^х/_у = ⁰/₁ = 0.

Візьмемо кут α = π (або 180°). Цьому кутку відповідає рухомий радіус

так як один з кутів, утворених з віссю Ох рухомим радіусом

дорівнює π (або 180°).
Координати точки

рівні:

х = –1, у = 0,

тому

sin π = sin 180° = у = 0,

cos π = cos 180° = х = –1,

tg π = сtg 180° = ^у/_х = ⁰/_-1 = 0,

сtg π або сtg 180° не існує.

Нарешті, розглянемо кут α = ^3π/₂ (або 270°). Цьому кутку відповідає рухомий радіус

так як один з кутів, складених з віссю Ох рухомим радіусом

дорівнює ^3π/₂ (або 270°).
Координати точки

рівні:

х = 0, у = –1,

тому

sin ^3π/₂ = sin 270° = у = –1,

cos ^3π/₂ = cos 270° = х = 0,

tg ^3π/₂ або tg 270° не існує,

сtg ^3π/₂ = сtg 270° = ^х/_у = ⁰/_-1 = 0.

Підсумок дан в наступній таблиці:

В силу того, що функції sin α і cos α періодичні і їх періодом є число 2π (або 360°), можна до кожного з розглянутих кутів

0, ^π/₂, π, ^3π/₂

Додавати 2kπ, де k – будь-яке ціле число, і від такого додавання значення відповідної тригонометричної функції не зміниться.

Таким чином:

1. Функція sin α.

sin 2kπ = 0 або sin 360° ∙ k = 0,

sin (π + 2kπ) = 0 або sin (180° + 360° ∙ k) = 0.

sin kπ = 0 або sin 180° ∙ k = 0,

де k – будь-яке ціле число.

Далі:

sin (^π/₂ + 2kπ) = 1 або sin (90° + 360° ∙ k) = 0,

sin (^3π/₂ + 2kπ) = –1 або sin (270° + 360° ∙ k) = –1.

2. Функція cos α.

cos (^π/₂ + 2kπ) = 0 або cos (90° + 360° ∙ k) = 0,

cos (^3π/₂ + 2kπ) = 0 або cos (270° + 360° ∙ k) = 0.

Ці співвідношення можна об'єднати в одне:

cos (^π/₂ + kπ) = 0 або cos (90° + 180° ∙ k) = 0,

де k – будь-яке ціле число.

Далі:

cos 2kπ = 1 або cos 360° ∙ k = 1,

cos (2kπ + π) = –1 або

cos (360° ∙ k + 180°) = –1.

В силу того, що періодом функцій tg α і сtg α є число π (або 180°), маємо:

3. Функція tg α.

tg kπ = 0 або tg 180° ∙ k = 0,

де k – будь-яке ціле число.

4. Функція сtg α.

сtg (^π/₂ + kπ) = 0 або сtg (90° + 180° ∙ k) = 0,

сtg kπ або сtg 180° ∙ k,

де k – будь-яке ціле число, не існує,

Тригонометричні функції кутів 30°, 45° і 60°.

Візьмемо кут. Побудуємо прямокутний трикутник АВС, один з гострих кутів якого, наприклад кут А, дорівнює 30°.

Як відомо з геометрії, в прямокутному трикутнику з гострим кутом 30° гіпотенуза в два рази більше катета, що лежить проти кута 30°. Тому, вважаючи цей катет рівним а, отримаємо, що гіпотенуза с = 2а, а отже, інший катет