суббота, 13 августа 2022 г.

Урок 15. Подобие прямоугольных треугольников

ВИДЕОУРОК


Две фигуры подобны, если каждой точке одной фигуры можно сопоставить точку другой фигуры так, что для любых двух точек  А  и  В  одной фигуры и сопоставимых им точек  А1  и  В1  другой фигуры выполняется условие

где  k – одно и то же положительное число для всех точек.

Число  k – коэффициент подобия фигур.

Признаки подобия прямоугольных треугольников.

Два прямоугольных треугольника подобны между собой, если:

– острый угол одного треугольника равен острому углу другого треугольника;

– катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого треугольника;

– гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Отношение периметров подобных прямоугольных треугольников равно отношению сходственных сторон (коэффициенту подобия):
Отношение площадей подобных прямоугольных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобности).
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

ПРИМЕР: 

∆ АВС, ∠ С = 90°, СМ – высота,
∆ АМС ∼ ∆ СМВ.
При проведении всех трёх средних линий образуется  4  равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом  1/2.

ЗАДАЧА:

Параллельные прямые  ВС  и  DЕ  пересекают стороны угла  А, изображённого на рисунку.
АВ = 6 см, 
АС = 4 см, 
СE = 2 см.

Найдите длину отрезка  АD.

РЕШЕНИЕ:

∆ ABC ~ ∆ ADE, тогда
ОТВЕТ:  9 см

ЗАДАЧА:

По данным, изображённым на рисунку, найдите высоту дерева.
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА:

Середина боковой стороны равнобедренного треугольника удалена от его основания на  9 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до его основания.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Треугольники  АМD  и  АКL – подобные.
MD = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Отрезки  АС  и  СD, изображённые на рисунку,
параллельны,

∠ АВС = 90°,  АВ = 24 см,

ВО = 10 см, СО = 5 см.

Найдите длину отрезка  АD.

РЕШЕНИЕ:

СD ∥ АВ, ∠ АВС = 90°,

АВ = 24 см,

ВО = 10 см,

СО = 5 см.

Так как

СD ∥ АВ  і  AВ ⊥ ВС, то

DС ⊥ ВС, то есть

∠ ВСD = 90°.

Из  ∆ AВО (∠ В = 90°):
∠ АОВ = ∠ DОС как вертикальные.
∆ DСО ~ ∆ AВО,
Поэтому,

AD = AO + OD =

= 26 + 13 = 39 см.

ОТВЕТ:  39 см

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  отрезок  ВК – высота, отрезок  АМ – биссектриса,

ВК = 26 см,

АВ : АС = 6 : 7.

Из точки  М  опущен перпендикуляр  МD  на сторону  АС. Найдите отрезок  МD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
По свойству биссектрисы треугольника имеем:

ВМ  : МС = АВ : АС = 6 : 7.

Пусть  ВМ = 6х, тогда 

МС = 7х,

ВС = 6х + 7х = 13х.

По условию, ВК ⊥ АС  и  

МD ⊥ АС.

Поэтому  ВК ∥ МD  и  

∆ СВК ~ ∆ СМD.

Откуда:

ВК : МD = ВС : МС,

26 : МD = 13х : 7х.
ОТВЕТ:  14 см

ЗАДАЧА:

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большого катета и проходит через вершину противоположного острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны  5 см  и  12 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть треугольник  АСВ (∠ С = 90°) – данный прямоугольный треугольник,
АС = 5 см, ВС = 12 см,

О – центр окружности,

ОD ⊥ ВС, D – точка касания окружности с центром  О  до катета  ВС,

ОD = ОА – радиус окружности.

Из прямоугольного треугольника  АСВ  имеем:
Поэтому  ОD ∥ АС  и треугольники  АСВ  и  ОDВ  подобные.

Нехай

ОD = ОА = х.

Тогда  ОВ = 13 – х.

Получим:

ОВ : ОD = АВ : АС,

(13 – х) : х = 13 : 5,

(13 – х) ∙ 5 = 13x,

65 – 5х = 13х, 18х = 65,

х = 65 : 18, х = 311/18,

Поэтому, радиус окружности равен  311/18 см.

ОТВЕТ:  311/18 см

ЗАДАЧА:

Катет прямоугольного треугольника равен  8 см, а гипотенуза – 16 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ АВС ~ ∆ ВDС, поэтому
ЗАДАЧА:

Боковая сторона равнобедренного треугольника точкою касания вписанной окружности делится в отношении  8 : 9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен  16 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – равнобедренный треугольник  (АВ = ВС)  с центром вписанной окружности  О,
К – точка касания окружности до стороны ВС,

ОК = 16 см,

СК : КВ = 8 : 9.

Пусть  СК = 8х, тогда

ВК = 9х,

ВС = 8х + 9х = 17х (см).

Проведем высоту  ВD  треугольника. Треугольник  ОКВ  прямоугольный

 (∠ К = 90°), тому
По свойству касательных, проведённых из одной точки до окружности,

СD = СК = 8х.

 Из подобности прямоугольных треугольников  ВОК  и  ВСD  (у них общий острый угол) получим:
256 + 81х2 = 1156,

81х2 = 900, х2 = 900/81,

х = 10/3.

DС = 8х = 10/3 ∙ 8 = 80/3 (см).

ВС = 17х = 17 ∙ 10/3 = 170/3 (см).

Р = 2 ∙ (80/3  + 170/3) = 500/3 (см).

S∆ABC = 1/2 р ∙ r = 1/2 ∙ 500/3 ∙16 =

= 4000/3 = 13331/3 (см2).

ОТВЕТ:  13331/3 см2

ЗАДАЧА:

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делить его высоту, проведённую до основания, на отрезки, длины которых равны  10 см  и  26 см. Найдите площадь данного треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – заданный равнобедренный треугольник  (АВ = ВС),
О – центр вписанной окружности,

ВD – высота треугольника,

ОD = 10 см, ОВ = 26 см,

 К – точка касания кола до боковой стороны  АВ,

ОК = ОD = 10 см.

 Из прямоугольного треугольника  ВКО (∠ К = 90°)  имеем:
ВD = ВО + ОD =

= 26 + 10 = 36 (см).

Из подобных прямоугольных треугольников

АВD  і  ОВК  имеем:

АD : ВD = КО : КВ,

АD : 36 = 10 : 24
Находим площадь треугольника  АВС.

SABC = 1/2 AC ∙ BD =

= AD ∙ BD =

= 15 ∙ 36 = 540 (см2).

ОТВЕТ:  540 см2

ЗАДАЧА:

На медиане  ВD  равнобедренного треугольника  АВС (АС = ВС)  взята точка  К  такая, что  КD = 2ВК. Прямая  АК  пересекает сторону  ВС  в точке  М. Найдите площадь треугольника  АМС, если площадь треугольника  АВС  равна  20.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВD – медиана треугольника  АВС, проведённая к его основанию, следовательно, ВD  является высотой и биссектрисой. Проведём прямую  ВF  параллельную  АС  до пересечения её с продолжением  АМ  в точке  F. Пусть

АD = DС = х, АС = 2х.

Треугольник  АКD  подобен треугольнику  FКВ  по двум углам

(∠ КAD = ∠ КFB, ∠ AKD = ∠ FKB),

следовательноотсюда

BF = 1/2 AD = 1/2 x.

Треугольник  АMC  подобен треугольнику  FMB

(∠ AMC = ∠ FMB, ∠ MAC = ∠ MFB),

поэтому
отсюда

BF = 1/2 AD = 1/2 x.

Треугольник  АMC  подобен треугольнику  FMB

(∠ AMC = ∠ FMB, ∠ MAC = ∠ MFB),

поэтому
Треугольники  АВС  и  АМС  имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины  А. Следовательно их площади относятся также, как стороны к которым эта высота проведена.
отсюда получим, что

SAМC = 4/5 SAВС =

= 4/5∙ 20 = 16.

ЗАДАЧА:

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна до боковой стороны, а основание равно  28 см  и  100 см. Найдите длины отрезков, на которые высота трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит диагональ.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (АВ ∥ СD) – равнобедренная трапеция,
ВЕ  и  СК – высоты,

АС ⊥ СD,

ВС = 28 см,

АD = 100 см,

О – точка пересечения прямых  АС  и  ВЕ. Проведём медиану  СМ  треугольника  АСD (∠ С = 90°). По свойству медианы, проведённой из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, получим

СМ = АМ = МD = 50 (см).
MK = MD – KD =

= 50 – 36 = 14 (см).

Из треугольника  МКС (∠ К = 90°)  имеем:
Из треугольника  АКС (∠ К = 90°)  имеем:
∆ AOE ~ ∆ СOB,
 (∠ OAE = ∠ OCB, ∠ OBC = ∠ OEA), тому
откуда
Пусть  АО = 9х (см), тогда  

ОС = 7х (см).

АО + ОС = АС,

9х + 7х = 80, х = 5 (см).

АО = 45 см, ОС = 35 см.

ОТВЕТ:  45 см, 35 см

ЗАДАЧА:

Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами  а  расположены так, что катет  ВС  ∆ АВС  параллельный гипотенузе  А1В1  ∆ А1В1C1. Вершины  В  и  С  соответственно лежат на катетах А1C1  и  В1C1. Определите площадь трапеции  BCMN.
РЕШЕНИЕ:

Из  ∆ АВN  выходит, что 

MN = AM = a – MC.

∆ А1C1B1 ~ ∆ BCC1, поэтому
то есть
Откуда

MC = a(√͞͞͞͞͞2– 1);

MN = a(2 – √͞͞͞͞͞2 );

Поэтому,
Задания к уроку 15
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)