Урок 4. Медиана

ПРИМЕР:

Рассмотрим выборку:

Семеро спортсменов, а так же их рост в сантиметрах.

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шёл по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту.

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190.

В получившейся выборке  7  элементов. Посередине этой выборки располагается элемент  184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как  184  называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Или

Медианой выборки называют число, которое разделяет пополам упорядоченную (в порядке роста или падения признака) совокупность всех значений выборки. 

Обозначают  Ме.

ПРИМЕР:

Медианой группы значений:

5, 7, 11, 13, 19 

будет  11.

Ме = 11.

Данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило быстро указать медиану.

Средним значением (средним арифметическим) называют такое число

которое получают делением суммы всех данных выборки
на количество этих данных  n:

Отклонением  l_i  каждого значения  x_i  от среднего арифметического

называют разность между этим значением и средним арифметическим, то есть

Отклонение может быть как положительным, так и отрицательным. Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

ПРИМЕР:

Рассмотрим выборку, в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190.

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы по середине. Если указать элемент  184  как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа – три. Если как медиану указать элемент  186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа – два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернёмся к спортсменам. В упорядоченной выборке

180, 182, 184, 186, 188, 190

посередине располагаются элементы

184  и  186.

Найдём среднее арифметическое элементов

184  и  186

Элемент  185  является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом  185 см  нет среди остальных спортсменов. Рост в  185 см  используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что средний рост спортсменов составляет  185 см.

ПРИМЕР:

Медиана группы значений:

3, 4, 8, 16, 17, 19 

равна

12((8 + 16) : 2 = 12).

Ме = 12.

Более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются <<близкими родственниками>>, поскольку и то и другое используют для определения среднего значения.

ПРИМЕР:

Для упорядоченной выборки:

180, 182, 184, 186, 188, 190

медиана равна  185.

Этот же результат можно получить путём определения среднего арифметического элементов

180, 182, 184, 186, 188, 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию.

ПРИМЕР:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1.

Определим среднее арифметическое для данной выборки – получим значение  2,2.

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов  2,2  очка.

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6.

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеют не более одного очка.

Среднее геометрическое  m_c  для  n  положительных чисел

x₁,  x₂, … ,  x_n

определяют по формуле

Дисперсией  D  называют среднее арифметическое суммы квадратов всех отклонений случайной величины:

Среднее квадратичное отклонение  σ  равняется корню квадратному из дисперсии:

σ = √͞͞͞͞͞D.

Задания к уроку 4

• Задание 1

Урок 3. Мода

Модою називають елемент, який зустрічається у вибірці частіше за інших.

Або

Модою називають значення ознаки варіанти, яке трапляється  найчастіше в даному ряді розподілу.

Позначають:  М₀.

ПРИКЛАД:

За результатами написання контрольної роботи учні отримали такі бали:

5 балів – 2 учні;

6 балів – 3 учні;

7 балів – 8 учнів;

8 балів – 10 учнів;

9 балів – 2 учні;

10 балів – 4 учні;

11 балів – 3 учні;

12 балів – 2 учні.

Модальним номером є  8  балів, оскільки він має найбільшу чисельність – 10 учнів. Отже,

М₀ = 8.

ПРИКЛАД:

У групі значень

2; 4; 4; 4; 5; 7; 7; 10; 10; 10

Модами є

М₀ = 4, М₀ = 10.

ПРИКЛАД:

Розглянемо наступну вибірку:

Шестеро спортсменів, а так само час в секундах, за який вони пробігають  100 м.

Елемент  14  зустрічається у вибірці частіше за інших, тому елемент  14  назвемо модою.

ПРИКЛАД:

Розглянемо ще одну вибірку. Тих же спортсменів, а також смартфони, які їм належать.

Елемент iphone зустрічається у вибірці частіше за інших, означає елемент iphone є модою.

Елементи вибірки в даному прикладі виражені не числами, а іншими об'єктами (смартфонами), але для загального уявлення про моду цей приклад цілком прийнятний.

Завдання до уроку 3

• Завдання 1 

Урок 3. Мода

Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.

Або

Модой называют значение признака варианты, которое случается  чаще всего в данном ряду распределения.

Обозначают:  М₀.

ПРИМЕР:

По результатам написания контрольной работы ученики получили такие баллы:

5 балов – 2 ученика;

6 балов – 3 ученика;

7 балов – 8 учеников;

8 балов – 10 учеников;

9 балов – 2 ученика;

10 балов – 4 ученика;

11 балов – 3 ученика;

12 балов – 2 ученика.

Модальным номером будет  8  баллов, так как он имеет наибольшую численность – 10 учеников. Поэтому,

М₀ = 8.

ПРИМЕР:

В группе значений

2; 4; 4; 4; 5; 7; 7; 10; 10; 10

Модами будут

М₀ = 4, М₀ = 10.

ПРИМЕР:

Рассмотрим следующую выборку:

Шестеро спортсменов, а так же время в секундах, за которое они пробегают  100 м.

Элемент  14  встречается в выборке чаще других, поэтому элемент  14  назовём модой.

ПРИМЕР:

Рассмотрим ещё одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат.

Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой.
Элементы выборки в этом примере выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.

Урок 2. Вибірка

Статистика – це розділ математики, в якому вивчаються питання збору, виміру і аналізу інформації, представленої в числовій формі. Відбувається слово статистика від латинського слова status (стан або стан справ).

Так, за допомогою статистики можна упізнати свій стан справ, що стосуються фінансів.

ПРИКЛАД:

З початку місяця можна вести щоденник витрат і після закінчення місяця, скориставшись статистикою, дізнатися, скільки грошей в середньому ми витрачали щодня, або яка витрачена сума була найбільшою цього місяця або упізнати яку суму ми витрачали найчастіше.

На основі цієї інформації можна провести аналіз і зробити певні висновки: чи слід в наступному місяці трохи зменшити апетит, щоб витрачати менше грошей, або навпаки дозволити собі не лише хліб з водою, але і ковбасу.

Усю сукупність, з якої роблять вибір одиниць спостереження, називають генеральною.

ПРИКЛАД:

Зі  100  деталей для спостереження вибирають  10, 100  деталей – генеральна сукупність.

Вибірка.

Що таке вибірка ? Якщо говорити звичною мовою, то це відібрана нами інформація для дослідження.

ПРИКЛАД:

Сформулюємо наступну вибірку – суми грошей, витрачених в кожного з шести днів.

Намалюємо таблицю, в яку занесемо витрати за шість днів.

Вибірка складається з  n – елементів. Замість змінної  n  може стояти будь-яке число. У нас є шість елементів, тому змінна  n  рівна  6.

n = 6.

Елементи вибірки позначаються за допомогою змінних з індексами 

х₁, 

х₂, … х_n.

Останній  х_n  елемент є шостим елементом вибірки, тому замість  n  стоятиме число  6.

Позначимо елементи вибірки через змінні

х₁, х₂, … х_n

х₁ = 150, х₂ = 180,

х₃ = 230, х₄ = 250,

х₅ = 160, х₆ = 170.

Кількість елементів вибірки називає об'ємом вибірки.

У нашому випадку об'єм рівний шести.

Сукупність одиниць, дібраних для вибіркового спостереження, називають вибіркою.

Для того щоб за вибіркою можна було судити про властивості генеральної сукупності, вибірка має бути представницькою (репрезентативною).

Якщо у вибірці присутні всі значення випадкової величини в тих самих пропорціях, що й у генеральній сукупності, то цю вибірку називають репрезентативною (від французького representative – представницький).

ПРИКЛАД:

Потрібно утворити вибірку з генеральної сукупності великого обсягу, якою є виготовлені заводом трактори. Кожному трактору присвоюють номер, який заносять до таблиці. Якщо у вибірці має бути  30  тракторів, то з таблиці навмання вибирають  30  чисел і трактори з відповідними номерами підпадають під проведення контролю. Після того як вибірка утворена, всі її об’єкти обстежують щодо властивості, яку досліджують, і в результаті отримують дані, які досліджують. Оскільки номери у таблиці (а значить і відповідні трактори) вибрані випадково, то репрезентативність вибірки буде забезпеченою.

Розмахом вибірки  (R)  називають різницю між найбільшим і найменшим елементом вибірки.

У нашому випадку, найбільшим елементом вибірки є елемент  250, а найменшим – елемент  150. Різниця між ними рівна  100.

x_max = 250,

х_min = 150.

R = x_max – x_min = 

250 – 150 = 100.

R = 100.

Обробка результатів спостережень, яка подлягає, наприклад, у тому, що отримані наслідки спостережень розташують у порядку не спадання, називають ранжуванням дослідних даних, а одержаний при цьому ряд чисел називають ранжируваним рядом.

Під ранжируванням ряду даних розуміють розташування елементів цього ряду в порядку зростання (мається на увазі, що кожне наступне число або більше, або не менше від попереднього).

ПРИКЛАД:

Якщо ряд даних вибірки має вигляд

5, 3, 7, 4, 6, 4, 6, 9, 4,

то після ранжирування він перетворюється на ряд

3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 9.

ПРИКЛАД:

Відділ технічного контролю заводу виміряв глибину пазів у  20  однотипних деталях. Одержали такий результат (у см):

2,1; 3; 1; 1; 2; 3; 1; 1; 2,2; 3; 1; 2,1; 3,2; 2,2; 3; 2,3; 1; 2; 2; 3,3.

Такий ряд не дозволяє судити про закономірності, закладені в розподільних даних. Розташуємо дані ряду в порядку не спадання. Одержимо ранжируваний ряд:

1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2,1; 2,1; 2,2; 2,2; 2,3; 3; 3; 3; 3; 3,2; 3,3.

Можемо зробити висновок, що 

6  деталей мають глибину пазу  1 см, 3  деталі – 2 см, 2  деталі – 2,1 см  і т. д.

Тепер легше встановити:

– навколо якої величини групується більшість показників;

– які є відхилення від цієї величини;

– яка загальна картина розподілу.

Числове значення кількісної ознаки заданого члена статистичної сукупності називають варіантою.  Позначають: х_i, де  i – індекс варіанти. Варіантами у наведеному вище прикладі є:

1; 2; 2,1; 2,2; 2,3; 3,2; 3,3.

Завдання до уроку 2

• Завдання 1