воскресенье, 26 августа 2018 г.

Задание 1. Объём усечённого конуса

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объём усечённого конуса

 1. Радиусы оснований усечённого конуса равны  3 м  и  6 м, а образующая равна  5 м. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  86π см3;     
 б)  80π см3;     
 в)  88π см3;     
 г)  84π см3.

 2. Сосуд смеет вид усечённого конуса, высота которого  27 см  и длины окружностей оснований равны  66 см  и  96 см. Сколько литров вмещает сосуд ?

 а)  ≈ 14,3 л;     
 б)  ≈ 14,9 л;     
 в)  ≈ 13,3 л;     
 г)  ≈ 15,1 л.

 3. Радиус одного основания усечённого конуса вдвое больше другого; боковая поверхность равна сумме площадей оснований; площадь осевого сечения равна  36. Найдите объём.

 а)  80π;       
 б)  89π;       
 в)  84π;      
 г)  85π.

 4. Высота усечённого конуса равна  3. Радиус одного основания вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под углом  45°. Найдите объём.

 а)  60π;      
 б)  63π;     
 в)  66π;      
 г)  61π.              

 5. Радиусы оснований усечённого конуса равны  6 см  и  10 см. Образующая наклонена к плоскости большего основания под углом  60°. Найдите объём усечённого конуса.
 6. Найдите объём усечённого конуса, если его осевым сечением будет трапеция с основаниями  8 см, 6 см  и высотой  3 см.

 а)  39π см3;     
 б)  34π см3;     
 в)  31π см3;     
 г)  37π см3.

 7. Усечённый конус, у которого  

 R1 = 22 см, R2 = 4 см, 

 требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус основания этого цилиндра ?

 а)  18 см;      
 б)  12 см;     
 в)  14 см;      
 г)  16 см.

 8. Дано: усечённый конус, 

 ВВ1 = 6 см, 
∠ ВАВ1 = 30°, 
∠ АВ1В = 90°. 

 Найдите объём усечённого конуса.

 а)  63√͞͞͞͞͞3π см3;     
 б)  67√͞͞͞͞͞3π см3;     
 в)  61√͞͞͞͞͞3π см3;     
 г)  65√͞͞͞͞͞3π см3.

 9. Найдите объём усечённого конуса, высота которого  3 см, а площадь оснований  

 16 см2  и  4 см2.

 а)  24 см3;     
 б)  28 см3;     
 в)  32 см3;     
 г)  26 см3.

10. Радиусы оснований усечённого конуса равны  1 дм  и  9 дм, образующая равна  1 м. Найдите объём.

 а)  186π дм3;     
 б)  188π дм3;     
 в)  180π дм3;     
 г)  182π дм3.

11. В усечённом конусе радиусы оснований  25  и  19, образующая относится к высоте как  5 : 4. Найдите объём усечённого конуса.

 а)  3890π;      
 б)  3896π;     
 в)  3898π;      
 г)  3894π.

12. Длины радиусов большего и меньшего основания усечённого конуса соответственно равны  R  и  r. Образующая наклонена к плоскости основания под углом  α. Найдите объём усечённого конуса.
Автор: на Комментариев нет:

Урок 14. Объём усечённого конуса

Объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх конусов, имеющих одинаковую высоту с усечённым конусом, а основания: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее и третий – круг, площадь которого есть среднее геометрическое между площадями верхнего и нижнего оснований:
где  Н – высота усечённого конуса, а  R  и  r – радиусы его оснований.

Выразим объём усечённого конуса через площади оснований.

Vус. кон. = 1/3 πH (R2 + r2 + Rr) =

= 1/3 H (πR2 + πr2 + πRr) =

= 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2),

где  S1 и S2 – площади оснований.

ЗАДАЧА:

Радиусы оснований усечённого конуса равны  8 см  и  6 см, а его высота – 3 см. Найдите объём усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

V = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2) =

= 1/3 πH (R2 + r2 + Rr).

V = 1/3 π∙ 3(64 + 36 + 6∙8) =

= π(100 + 8∙6) = 148π (cм3).

ЗАДАЧА:

Ведро в форме усечённого конуса имеет радиусы оснований – 12 см  и  18 см, образующую  20 см. Найдите объём ведра.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Проведём  ВС = ОО1 = h. Как видно из рисунка  ∆ АВС – прямоугольный, АВ = l = 20 см. Найдём  АС. Так как  ВОО1С – прямоугольник (а у прямоугольника противоположные стороны равны, то  ВO = RО1). Откуда можно утверждать, что

AC = AO1 – BO = R – r =

=18 – 12 = 6 (см).

Поскольку  ∆ АВС – прямоугольный, то по теореме Пифагора

h = OO1 = BC =
V = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2).

V = 1/3 π∙ 19(144 + 324 + √͞͞͞͞͞144∙324) =

≈ 6,3π(468 + 12∙18) ≈ 4309,2π (cм3)

ОТВЕТ:  4309,2π см3

ЗАДАЧА:

Объём усечённого конуса равен  248π см3, его высота  8 см, а радиус одного из оснований – 4 см. Найдите боковую поверхность усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Боковую поверхность усечённого конуса найдём по формуле:

Sб = π(R1 + R2) l,

где  R1, R2 – радиусы оснований, l = АВ – секущая. Объём вычисляется по следующей формуле:

Vус. кон. = 1/3 πH (R2 + r2 + Rr).

Зная объём и высоту найдём радиус другого основания из уравнения:

248π = 8/3 π (42 + 4R2 + R22),

R22 + 4R2 + 16 = 93,

R22 + 4R2 – 77 = 0, R2 = 7 см.

Так как,  АО = 4 см, ВО1 = 7 см, то опустив высоту  АК  прямоугольной трапеции  АВО1О, получим

ВК = ВО1 – КО1 =

= ВО1 – АО =

= 7 – 4 = 3 (см).

По теореме Пифагора из треугольника  АКВ (∠ К = 90°)
Таким образом, боковая поверхность усечённого конуса равна:

Sб = (4 + 7)π√͞͞͞͞͞73 = 11π√͞͞͞͞͞73 (см2).

ОТВЕТ:  11π√͞͞͞͞͞73 см2

ЗАДАЧА:

В усечённом конусе радиусы оснований и образующая относятся как  

 3 : 11 : 17, 

 а объём равен  815π см3. Найдите полную поверхность 
усечённого конуса.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим  

 О1А = r = 3х, 
ОВ = R = 11х  и  
АВ = L = 17х.
Тогда из прямоугольного треугольника  АМВ
По условию задачи объём усечённого конуса  815π, поэтому,
Откуда  х = 1 см, тогда 

R = 11 см, 
r = 3 см, 
L = 17 см.

Полная поверхность усечённого конуса:

Sполн = π[(R + r)L + R2 + r2] =
π[(11 + 3)17 + 112 + 32] = 368π см2.

ОТВЕТ:

Sполн = 368π см2.   

 Задания к уроку 14
Другие уроки:
Автор: на Комментариев нет:
Подписаться на: Сообщения (Atom)