Урок 37. Задачі на знаходження цифр

Основні відомості про десяткову систему числення.

ПРИКЛАД:

327 = 100 × 3 + 2 × 10 + 7.

Водночас доцільно ввести й позначення:

ЗАДАЧА:

Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо це число додати до числа, записаного тими самими цифрами, але в зворотному порядку, то буде 55. Знайдіть двоцифрове число.

Двоцифрове число, яке закінчується цифрою 3, можна позначити так

Число, записане цими самими цифрами, але в зворотному порядку, буде:

Сума цих двох чисел дорівнює 55, отже,

(10х + 3) + (30 + х) = 55,

х = 2.

ВІДПОВІДЬ:

Двоцифрове число буде 23.

ЗАДАЧА:

Сума цифр двоцифрового числа 15. Якщо це число помножити на 7 і від добутку відняти двоцифрове число, записане тими самими цифрами, що і початкове, але в зворотному порядку, то дістанемо 387. Знайдіть двоцифрове число.

Позначимо цифру десятків через х, а цифру одиниць – через у. Оскільки сума цих цифр дорівнює 15, маємо рівняння

х + у = 15.

Крім того, з умови задачі випливає ще одне рівняння:

(10х + у) × 7 – (10у + х) = 387, або

23х – у = 129.

Система рівнянь:

х = 6, у = 9.

ВІДПОВІДЬ:

Двоцифрове число буде 69.

ЗАДАЧА:

На нумерацію сторінок книги знадобилося в два рази більше цифр, ніж сторінок. Скільки сторінок в книзі ?

РІШЕННЯ:

Спосіб 1. На перші 9 сторінок знадобиться 9 цифр. Якщо в книзі менше 100 сторінок, то, починаючи з десятої сторінки, номера сторінок – двозначні числа. Нехай в книзі (х + 9) сторінок, тоді для нумерації знадобиться (2х + 9) цифр. А по умові завдання для нумерації вимагається 2(х + 9) цифр. Складемо рівняння:

2х + 9 = 2х + 18.

Це рівняння не має рішень, означає в книзі більше 99 сторінок. Якщо в книзі менше 1000 сторінок, то, починаючи з сотої сторінки, номера сторінок – тризначні. Нехай в книзі

(9 + 90 + у) сторінок

тоді для нумерації сторінок знадобиться

(9 + 2 × 90 + 3у) цифр.

А по умові завдання потрібне для нумерації число цифр

2(у + 99).

Складемо рівняння:

3у + 180 + 9 = 2у + 198.

Вирішивши це рівняння, отримаємо у = 9. В книзі (99 + 9) сторінок, т. е. 108 сторінок.

Переконайтеся, що якщо число сторінок в книзі більше 999, то число цифр, необхідних для їх нумерації, перевершує число сторінок більш ніж в 2 рази. Таким чином інших рішень немає.

ВІДПОВІДЬ:

108 сторінок.

Спосіб 2. Очевидно, що якщо брати для нумерації сторінок тільки однозначні і двозначні числа, то кількість цифр не може удвічі перевершувати кількість чисел. Від 10 до 99 – кількість цифр удвічі перевершує кількість чисел. Від 1 до 9 бракує 9 цифр, значить, треба використати ще 9 тризначних чисел (від 100 до 108). Таким чином, в книзі 108 сторінок.

Завдання до уроку 37

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 1 февраля 2017 г.