Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь

вторник, 7 февраля 2017 г.

Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь

У задачах на змішування другого роду найчастіше відомі ціни окремих сортів, ціна та кількість суміші, а треба визначити кількості взятих для суміші сортів. Видозміною цих задач є такі, в яких шуканою є кількість одного з сортів, що входять до суміші.

Якщо в задачі треба знайти m₁, m₂, p₁, p₂, або їх відношення, то це задача на змішування другого роду. Такі задачі важчі від задач першого роду, їх можна розв’язувати й арифметичним способом, але краще – за допомогою рівнянь.

ЗАДАЧА:

З двох сплавів з 60-процентним і 80-процентним змістом міді потрібно виготовити сплав вагою 40 кг з 75-процентним змістом міді. Скільки кілограмів кожного сплаву потрібно узяти для цього ?

РІШЕННЯ:

Виражаємо зміст міді в грамах на 1 кг сплаву:

ВІДПОВІДЬ:

10 кг и 30 кг.

ЗАДАЧА:

Скільки кілограмів 20-відсоткового і скільки кілограмів 50-відсоткового сплавів міді треба взяти, щоб отримати 30 кг 30-відсоткового сплаву ?

Нехай 20-відсоткового сплаву треба взяти х кг, міді в якому – 0,2х кг, тоді 50-відсоткового – (30 – х) кг, міді в якому – 0,5(30 – х) кг. Рівняння:

0,2х + 0,5(30 – х)

= 0,3 × 30,

2х + 150 – 5х = 90,

3х = 60,

х = 20.

20-відсоткового сплаву треба взяти 20 кг, а

50-відсоткового сплаву треба взяти

30 – 20 = 10 (кг).

У задачах на розчини (сплави) часто фігурують відношення, в яких певні метали входять у сплав.

ПРИКЛАД:

Якщо сказано, що деякий сплав складається з двох металів, які входять у відношенні 2 : 3, то концентрація першого металу в цьому сплаві дорівнює ²/₅, а другого ³/₅.

ЗАДАЧА:

У якому відношенні треба узяти два сорти товару вартістю по 7,5 крб за 1 кг і по 7 крб за 1 кг, щоб отримати суміш вартістю по 7,2 крб за 1 кг ?

РІШЕННЯ:

Позначивши невідомі кількості товару ціною 7,5 крб і 7 крб за 1 кг відповідно через х₁ і х₂ складаємо таблицю:

Далі міркуємо так. При вартості 1 кг суміші по 7,2 крб кожен кілограм товару першого сорту оцінювався дешевше за його вартість на 0,3 крб, а кожен кілограм другого сорту, що увійшов до суміші, оцінювався дорожче на 0,2 крб.

Для того, щоб зменшення вартості першого сорту могло бути покрите підвищенням вартості другого сорту, необхідно, щоб кожного разу, коли беруть 0,2 кг товару першого сорту, брали 0,3 кг другого сорту, т. е.

х₁ : х₂ = 0,2 : 0,3.

ВІДПОВІДЬ:

Відносно 2 : 3.

ЗАДАЧА:

Латунь – це сплав міді і цинку. Кусок латуні вагою 124 г при зануренні у воду <<втратив>> 15 г. Cкільки в ньому міститься міді і цинку окремо, якщо відомо, що 89 г міді <<втрачає>> у воді 10 г, а 7 г цинку – 1 г ?

Нехай у латуні було х г міді і у г цинку. Тоді:

х + у = 124.

Оскільки мідь <<втрачає>> ¹⁰/₈₉ своєї ваги, а цинк ¹/₇, то х г міді <<втратить>> ¹⁰/₈₉ х, а у г цинку ¹/₇ у. Отже:

¹⁰/₈₉ х + ¹/₇у = 15.

Розв’язавши систему рівнянь, одержимо

х = 89, у = 35.

ВІДПОВІДЬ:

89 г міді і 35 г цинку.

ЗАДАЧА:

Скільки грамів 3-відсоькового і скільки грамів 8-відсоткового розчину солі треба взяти, щоб отримати 500 г 4-відсоткового розчину ?

Нехай першого розчину треба взяти х г, а другого – у г. Тоді за умовою

х + у = 500.

У 3-відсотковому розчині міститься 0,03х г солі, а у 8-відсотковому – 0,08у г солі. У 500 г 4-відсоткового розчину міститься

500 × 0,04 = 20 (г) солі.

Отже,

0,03х + 0,08у = 20.

Склали систему рівнянь:

Розв’язавши яку матимемо:

х = 400, у = 100.

Отже, треба взяти 400 г 3-відсоткового розчину і 100 г 8-відсоткового розчину.

ВІДПОВІДЬ:

400 г, 100 г.

Завдання до уроку 39

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 7 февраля 2017 г.