Урок 9. Сила всемирного тяготения

ВИДЕО УРОК

Одна из важнейших в природе сил – сила гравитации, или сила тяготения. Она действует на все тела во вселенной.

Человеку давно уже известна сила, заставляющая все тела падать на Землю. Но до  XVII в. считалось, что только Земля обладает особым свойством притягивать к себе тела, находящиеся вблизи её поверхности. 

Впервые к выводу о существовании сил всемирного тяготения пришёл Ньютон, когда изучал движение Луны вокруг Земли и планет Солнечной системы вокруг Солнца. В 1667 г. Ньютон высказал предположение, что вообще между всеми телами действуют силы взаимного притяжения. Он назвал эти силы силами всемирного тяготения.

Ньютон открыл закон всемирного тяготения, то есть формулу для расчёта силы гравитационного взаимодействия. Согласно этому закону движение с ускорением возможно только под действием силы. Ньютон открыл законы движения тел. Согласно этим законам движения с ускорением возможно только под действием силы. Так как падающие тела движутся с ускорением, то на них должна действовать сила, направленная вниз, к Земле.

Но нет оснований  считать, что только Земля наделена исключительным свойством притягивать к себе тела. Почему же мы не замечаем взаимного притяжения между окружающими нас телами ? Может быть, это объясняется тем, сто силы притяжения между ними слишком малы ?

Ньютону удалось показать, что сила притяжения между телами зависит от масс обоих тел и, как оказалось, достигает заметной величины только тогда, когда взаимодействующие тела (или хотя бы одно из них) обладают достаточно большой массой. Ускорение свободного падения отличается той особенностью, что оно в данном месте одинаково для всех тел, для тел любой массы. Как объяснить это свойство ?

Единственное объяснение, которое можно найти тому, что ускорение не зависит от массы тела, заключается в том, что сама сила

с которой Земля притягивает тело, пропорциональна его массе  m.
Действительно, в этом случае увеличение массы  m, например, вдвое приведёт и к увеличению абсолютного значения силы

тоже вдвое, а ускорение, которое равно отношению

останется неизменным. Ньютон и сделал этот единственно правильный вывод: сила всемирного тяготения пропорциональна массе того тела, на которое она действует. Но ведь тела притягиваются взаимно. А по третьему закону Ньютона на оба притягивающихся тела действуют одинаковые по абсолютному значению силы. Значит, сила взаимного притяжения должна быть пропорциональна массе каждого из притягивающихся тел. Тогда оба тела будут получать ускорения, которые не зависят от их масс.

Если сила пропорциональна массе каждого из взаимодействующих тел, то это означает, что она пропорциональна произведению масс обоих тел.

От чего ещё зависит сила взаимного притяжения двух тел ? Ньютон предположил, что она должна зависеть от расстояния между телами. Из опыта хорошо известно, что вблизи Земли ускорение свободного падения равна  9,8 м/сек²  и оно одинаково для тел, падающих с высоты  1, 10  или  100 м. Но отсюда ещё нельзя заключить, что ускорение не зависит от расстояния до Земли. Ньютон считал, что отсчитывать расстояния надо не от поверхности Земли, а от её центра. Но радиус Земли равен  6400 км. Понятно поэтому, что несколько десятков или сотен метров над поверхностью Земли не могут заметно изменить ускорение свободного падения.

Чтобы выяснить, как влияет расстояние между телами на силу их взаимного притяжения, нужно знать, с каким ускорением движутся тела, удалённые от поверхности Земли на большие расстояния.

Ясно, что измерить ускорение свободного падения тел, находящихся на высоте в несколько тысяч километров над поверхностью Земли, трудно. Удобнее измерить центростремительное ускорение тела, движущегося вокруг Земли по окружности под действием силы притяжения к Земле. Таким же приёмом пользовались при изучении силы упругости. Измеряли центростремительное ускорение цилиндра, движущегося по окружности под действием этой силы.

В изучении силы всемирного тяготения сама природа пришла на помощь физикам и дала возможность определить ускорение тела, движущегося по окружности вокруг Земли. Таким телом является естественный спутник Земли – Луна. Если верно предположение Ньютона, то надо считать, что центростремительное ускорение Луне при её движении по окружности вокруг Земли сообщает сила её притяжения к Земле. Если бы сила тяготения между Луной и Землёй не зависела от расстояния между ними, то центростремительное ускорение Луны было бы таким же, как ускорение свободного падения тел вблизи поверхности Земли. В действительности центростремительное ускорение, с которым движется Луна по орбите, равно  0,0027 м/сек². А это приблизительно в  3600 раз меньше, чем ускорение падающих тел вблизи Земли. В то же время известно, расстояние от центра Земли до центра Луны равно  384 000 км. Это в  60 раз больше радиуса Земли, то есть расстояния от центра Земли до её поверхности. Таким образом, увеличение расстояния между притягивающимися телами в  60 раз приводит к уменьшению ускорения в  60² раз. Отсюда можно заключить, что ускорение, сообщаемое телам силой всемирного тяготения, а значит, и сама эта сила обратно пропорциональны квадрату расстояния между взаимодействующими телами. К такому заключению и пришёл Ньютон.

Можно, следовательно, написать, что два тела массой  М  и  m  притягиваются друг к другу с силой

абсолютное значение которой выражается формулой

где   r – расстояние между центрами тел,

G – коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех тел в природе.

Называется этот коэффициент постоянной всемирного тяготения или гравитационной постоянной.

Приведённая формула выражает закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном.

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Под действием силы всемирного тяготения движутся и планеты вокруг Солнца, и искусственные спутники вокруг Земли.

Но что надо понимать под расстоянием между взаимодействующими телами ?

Оказывается, формула, выражающая закон всемирного тяготения,

справедлива, когда расстояние между телами настолько велико по сравнению с их размерами, что тела можно считать материальными точками. Направлена эта сила вдоль линии, соединяющей материальные точки. Материальными точками при вычислении силы тяготения между ними можно считать Землю и Луну, планеты и Солнце.

Если тела имеют форму шаров, то даже в том случае, когда их размеры сравнимы с расстоянием между ними, они притягиваются между собой как материальные точки, расположенные в центрах шаров. В этом случае  r – это расстояние между центрами шаров, а сила направлена вдоль линии, соединяющей центры шаров.

Формулой

можно также пользоваться при вычислении силы притяжения между шаром большого радиуса и телом произвольной формы небольших размеров, находящимся близко к поверхности шара. Тогда размерами тела можно пренебречь по сравнению с радиусом шара. Именно так мы поступаем, когда рассматриваем притяжение различных тел к земному шару. Тогда  r  в формуле

– это радиус земного шара.

Сила тяготения – это ещё один пример силы, которая зависит от взаимного расположения взаимодействующих тел, то есть от их координат. Ведь сила тяготения зависит от расстояния  r  между телами.

Условия применяемости закона всемирного тяготения.

– если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними;

– если оба тела однородные и имеют шарообразную форму;

– если одно из тел – шар, размеры и масса которого значительно больше, чем у второго тела (любой формы), находящегося на поверхности этого шара или вблизи него.

Последнее условие помогает рассчитать силу тяжести, действующую на тела, которые находятся вблизи поверхности Земли. При этом расстояние между телами считается равным радиусу Земли (6370 км), так как размеры тел, находящихся вблизи Земли, пренебрежимо малы по сравнению с земным радиусом.

ПРИМЕР:

По третьему закону Ньютона яблоко, висящее на ветке или падающее с неё с ускорением свободного падения, притягивает к себе Землю с такой же по модулю силой, с какой его притягивает Земля. Но ускорение Земли, вызванное силой её притяжения к яблоку близко к нулю, поскольку масса Земли несоизмеримо больше массы яблока.

Постоянная всемирного тяготения.

В формулу, выражающую закон всемирного тяготения Ньютона, входит коэффициент  G – постоянная всемирного тяготения (гравитационная постоянная).

Коэффициент  G  имеет простой и ясный смысл. Если массы обоих взаимодействующих тел  М  и  m  равны единице (М = m = 1 кг) и расстояние  r  между ними тоже равно единице (r = 1 м), то, как это видно из формулы

 

Постоянная всемирного тяготения численно равна силе притяжения между двумя телами (материальными точками) массой  1 кг  каждое, когда расстояние между ними равно  1 м. 

Из формулы для закона всемирного тяготения следует, что

Если сила измеряется в ньютонах (Н), расстояние в метрах (м) и масса в килограммах (кг), то величина, стоящая в правой части равенства, выражается в

Но в любой формуле, если она правильна, величины, стоящие в обеих частях равенства, должны измеряться в одинаковых единицах (5 м, например, не могут быть равны  5 кг). Отсюда следует, что постоянная  G  должна выражаться в

Числовое значение постоянной всемирного тяготения может быть определено только из опыта, в котором нужно, очевидно, каким-нибудь способом измерить силу

действующую между двумя телами известных масс  m₁  и  m₂, расположенными на известном расстоянии  r  одно от другого.

ОПЫТ:

К одной из чашек чувствительных весов на длинной нити подвесили стеклянный шар, наполненный ртутью

На другую чашку весов поместили гири, уравновешивающие весы. После того как весы были тщательно уравновешены, под шаром с ртутью, как можно ближе к нему, установили шар из свинца большой массы (около  6000 кг). Вследствие притяжения ртутного шара к свинцовому равновесие шаров нарушалось. Чтобы снова уравновесить весы, надо на чашку с гирями положить дополнительную гирю. Сила притяжения этой дополнительной гири к Земле, очевидно, равна силе притяжения ртутного шара к свинцовому шару, то есть

Здесь  m_св – масса свинцового шара, m_рт – масса ртутного шара и  r – расстояние между их центрами. Отсюда легко вычислить значение  G:

Из этого и из многих других опытов было получено численное значение постоянной  G:

Это очень малая величина. Именно благодаря тому что она так мала, мы и не замечаем притяжения между окружающими нас телами. Ведь даже два шара массой каждый в тонну при расстоянии между ними в  1 м  притягиваются друг к другу с силой всего в  6,67  стотысячных долей ньютона.

ЗАДАЧА:

Ракета стартует с Луны вертикально вверх с ускорением  20 м/сек². Сколько весит во время старта космонавт, масса которого равна  90 кг ?

РЕШЕНИЕ:

Сила притяжения космонавта к Луне равна

где

– ускорение свободного падения на Луне (оно в  6 раз меньше земного).

g_л = 9,81 : 6 ≈ 1,635 (м/сек²)

Согласно второму закону Ньютона

где

– сила реакции опоры. В проекции на вертикальную ось получаем, что:

ma = –mg_л + N

откуда

N = m(g_л + а).

Согласно третьему закону Ньютона вес космонавта по модулю равен силе реакции опоры. Следовательно,

Р = m(g_л + а) =

90 кг ∙ (1,635 м/сек² + 20 м/сек²) =

90 кг ∙ 21,635 м/сек² ≈ 1947,15 Н.

ОТВЕТ:  1947,15 Н

Задания к уроку 9   

• Задание 1