воскресенье, 19 января 2020 г.

Урок 26. Графіки функції y = tg x і y = ctg x

ВІДЕО УРОК

Графік функції  y = tg x.

Для побудови графіка функції  y = tg x  складемо таблицю значень  tg x  для значень  х  рівних

–3π/8, –π/4, –π/8, 0, π/8, π/4, 3π/8.

Побудуємо тепер у прямокутній системі координат точки, що відповідають отриманим значенням абсцис  х  та ординат  tg x.
З'єднуючи побудовані точки плавною лінією, отримаємо графік функції  y = tg x, званий тангенсоїдою.
У міру наближення аргументу  х  до  π/2  графік функції  y = tg x піднімається вгору, необмежено наближаючись до прямої, паралельної осі  Оу  та віддаленої від неї праворуч на  π/2. При  х, що зменшується від  0  і що прагне до – π/2, графік опускається вниз, необмежено наближаючись до прямої, паралельної до  Оу  і проходить через точку з абсцисою – π/2.

Так як функція  tg x  періодична з періодом, рівним  π(180°), то графік її складається з низки окремих однакових гілок, на які він розпадається внаслідок розривів, що випробовуються цією функцією при проходженні аргументу через значення

х = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2, …  і так далі.

Гілки кривої розділені прямими, паралельними осі  Оу, на відстані  π одна від одної, починаючи від  π/2  ліворуч і праворуч. Тангенсоїда перетинає вісь  Ох  у точках з абсцисами  х = kπ,

де  k – будь-яке ціле число.
Графік функції  y = tg x  може бути побудований також геометрично.
Розглянемо ще один спосіб побудови графіка  у = tg x.

Візьмемо контрольні точки

(0; 0), (π/4; 1), (π/3; √͞͞͞͞͞3),

побудуємо графік функції  у = tg x  на відрізку  [0; π/2].
Скориставшись непарністю функції  у = tg x, побудуємо графік на інтервалі  (–π/2; π/2).
Нарешті, скориставшись періодичністю функції  у = tg x, побудуємо графік по всій області визначення.
Деякі властивості функції  y = tg x.

1. Область визначення та безперервність.

Функція  y = tg x  визначена за

x ≠ π/2 (2n + 1)  (n = 0; ±1; ±2; …)

або на проміжках

π/2 (2n – 1) < x < π/2 (2n + 1).

У точках  x = π/2 (2n + 1)  функція  tg x  не існує

(tg π/2 (2n + 1) = ±∞),

і кажуть, що в цих точках вона зазнає розриву, тобто функція  tg x  не є безперервною. Її графік суцільний (безперервний) тільки на проміжках її визначення, а не на всій числовій осі.

2. Область значень – вся числова пряма.

3. Функція періодична з основним періодом  π.

4. Функція tg x – непарна, та її графік симетричний щодо початку координат.

5. tg x – функція необмежена; найбільшого та найменшого значення не має.

6. Нульові значення.

tg x = 0,

якщо  х = πn (n = 0; ±1; ±2; …).

7. Функція tg x всіх проміжках зростає.

З графіка тригонометричної функції  у =  tg x
видно і з її визначення слід, що за зміни  х  від  – π/2  до  +π/2  функція  tg x  зростає від  –∞  до  +∞, приймаючи всі дійсні значення. Це означає, що;

– якщо

– π/2 < х1 < х2 < π/2,

то

tg х1 < tg х2.

– кожному числу  р  відповідає єдине значення  х, яке задовольняє нерівностям  – π/2 < х < +π/2, таке, що  tg x = р.

Період функції  tg x  дорівнює  π. Тому можна до меж проміжку додати по  kπ (k – будь-яке ціле число)

Функція  tg x  зростає за зміни  х  від

– π/2 + kπ < х < +π/2 + kπ,

набуваючи всіх дійсних значень.

Графік функції  y = сtg x.

Для побудови графіка функції  y = tg x  скористаємось таблицею, складеною при побудові графіка функції  y = tg x, враховуючи, що

сtg x = tg (90° – x)

сtg (180° – x) = – сtg x,

отримуємо таку таблицю:
Крапки, що відповідають парам значень абсцис  х  і ординат  сtg x, з'єднуємо плавною лінією, отримаємо частину графіка функції   y = сtg x.
При  х, що зменшується від  π/2  до  0, функція  сtg x  необмежено зростає, точки кривої піднімаються вгору, прагнучи наблизитися як завгодно близько до осі  Оу.

При х, що зростає від  π/2  до  π, ординати графіка негативні, за абсолютною величиною вони ростуть необмежено, точки кривої опускаються вниз, прагнучи наблизитися як завгодно близько до прямої, паралельної осі  Оу  і віддаленої від неї вправо на  π. В силу періодичності функції  сtg x  такі ж гілки повторюватимуться через проміжки зміни  х, рівні як вліво, так і вправо.

Графік функції  y = сtg х  (котангенсоіда) зображений на кресленні.
З віссю  Ох  котангенсоіда перетинається в точках з абсцисами

х =  π/2 + kπ,

де  k – будь-яке ціле число.

Графік функції  y = ctg x  можна отримати із графіка функції  y = tg x, користуючись формулою.

ctg x = –tg (x + π/2).

Графік функції  y = ctg x  виходить з графіка функції  y = tg x  зсувом останнього вліво у напрямку осі абсцис на  π/2  та подальшого відображення його (перевертання) щодо цієї осі.
Деякі властивості функції  y = сtg x.

1. Область визначення та безперервність.

Функція  y = сtg x  визначена за

x ≠ πn (n = 0; ±1; ±2; …)

тобто в проміжках

πn < x < π (n + 1)

(n = 0; ±1; ±2; …).

У точках  x = πn  функція  tg x  не існує

(сtg πn = ±∞),

Область значень – вся числова пряма.

3. Функція періодична з основним періодом  π.

4. Функція  сtg x – непарна, та її графік симетричний щодо початку координат.

5. Функція  сtg x  необмежена і не має найбільшого чи найменшого значення.

6. Нульові значення.

сtg x = 0,

якщо  х = π/2 (2n + 1)  (n = 0; ±1; ±2; …).

7. На всіх проміжках визначення  сtg x  зменшується.

З графіка тригонометричної функції  у =  сtg x
видно і з її визначення слід, що за зміни  х  від  0  до  π  функція  сtg x зменшується від  +∞  до  –∞, приймаючи всі дійсні значення. Це означає, що;

– якщо

0 < х1 < х2 < π,

то

сtg х1 ˃ сtg х2.

– кожному  q  відповідає єдине значення  х, що відповідає нерівностям  0 < х < π, таке, шо  ctg x = q.

Період функції  сtg x  дорівнює  π. Тому можна до меж проміжку додати по  kπ (k – будь-яке ціле число)

Функція  сtg x  зменшується при зміні  х  від

kπ < х < π + kπ

і набуває всіх дійсних значень.

Завдання до уроку 26
Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)