Завдання 3. Комбінації тіл (2)

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Комбінації тіл (2)

 1. Об’єм конуса дорівнює  V, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює  α. Знайдіть об’єм кулі, вписаної в конус.

 2. У зрізаний конус вписано кулю радіуса  R. Знайдіть об’єм зрізаного конуса, якщо діаметр його більшої основи видно з центра кулі під кутом  α.

 3. У конус вписано циліндр, висота якого у два рази менша від висоти конуса. Знайдіть об’єм циліндра, якщо об’єм конуса дорівнює  V.

 4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює  а, а бічне ребро утворює з площиною основи кут  α. У піраміду вписано куб так, що одна грань куба лежить у площині основи піраміди, а вершини паралельної їй грані лежать на бічних ребрах піраміди. Знайдіть об’єм куба.

 5. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює  b  й утворює з площиною основи кут  α. Визначити об’єм конуса, описаного навколо піраміди.

 6. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює  а, а двогранний кут при основі дорівнює  α. У піраміду вписано куб так, що одна грань куба лежить у площині основи піраміди, а вершини паралельної їй грані лежить на апофемах піраміди. Знайдіть об’єм куба.

 7. У конус із твірною

яка нахилена до площини його основи під кутом  60°, вписано кулю. Знайти об'єм кулі.

 а)  282;      
 б)  286;     

 в)  288;      
 г)  284.

 8. У конус вписано циліндр, радіуси їх основ відносяться як  3 : 2. Знайдіть об'єм конуса, якщо об'єм циліндра дорівнює  V.

 а)  ⁹/₅V;      
 б)  ⁹/₈V;     

 в)  ⁵/₈V;      
 г)  ²/₃V.

 9. У циліндр, радіус основи якого дорівнює  6 см, вписано прямокутний паралелепіпед, бічне ребро якого утворює з діагоналлю паралелепіпеда і з діагоналлю грані, які мають спільну вершину, кути  60°  і  45°  відповідно. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.  

 а)  192√͞͞͞͞͞6 см³;     

 б)  198√͞͞͞͞͞6 см³;     

 в)  190√͞͞͞͞͞6 см³;      

 г)  194√͞͞͞͞͞6 см³.

10. У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з площиною основи кут  30°, а з однією з бічних граней – кут  45°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо радіус основи циліндра дорівнює  3 см.

 

 а)  28√͞͞͞͞͞6 см³;     

 б)  22√͞͞͞͞͞6 см³;     

 в)  26√͞͞͞͞͞6 см³;     

 г)  24√͞͞͞͞͞6 см³.

11. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює  а, а висота – Н. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо цієї призми.

12. Основа прямої призми – рівнобедрений трикутник з основою  а  і кутом  α  при вершині. Діагональ бічної грані призми, що містить основу рівнобедреного трикутника, нахилена до площини основи під кутом  β. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо призми.

Завдання до уроку 17

• Завдання 1
• Завдання 2

Завдання 2. Комбінації тіл (2)

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Комбінації тіл (2)

 1. Навколо прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють

1 см, 2 см  і  5 см, описано кулю. 

Знайдіть об'єм кулі.

 а)  5π√͞͞͞͞͞32 см³;     

 б)  3π√͞͞͞͞͞30 см³;     

 в)  5π√͞͞͞͞͞30 см³;     

 г)  3π√͞͞͞͞͞32 см³.

 2. У куба, ребро якого дорівнює  6 см, вписано кулю. Знайдіть об'єм кулі.

 

 а)  27π см³;     

 б)  32π см³;     

 в)  18π см³;     

 г)  36π см³.

 3. У правильну трикутну призму вписано кулю радіуса  r. Знайдіть об'єм призми.

 а)  6r³√͞͞͞͞͞3 см³;     

 б)  3r³√͞͞͞͞͞3 см³;     

 в)  6r³√͞͞͞͞͞2 см³;     

 г)  3r³√͞͞͞͞͞2 см³.

 4. У правильну шестикутну призму, об'єм якої  V, вписано кулю. Знайдіть об'єм цієї кулі.

 5. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює  b, а висота – h. Знайдіть об'єм кулі, описаної навколо піраміди.

 6. У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю. Знайдіть об'єм цієї кулі, якщо бічна грань піраміди утворює з площиною основи кут  α, а відстань від центра кулі до вершини піраміди дорівнює  m.

 7. Знайдіть відношення об'ємів циліндра і кулі, вписаної в цей циліндр.

 а)  4 : 1;      
 б)  3 : 2;     

 в)  2 : 1;      
 г)  3 : 1.

 8. У сферу радіуса  R  вписано циліндр, осьовий переріз якого – квадрат. Знайдіть об'єм циліндра.

 9. Об'єм правильної трикутної призми дорівнює  V. Визначити об'єм циліндра, вписаного в призму.

10. У циліндр вписано правильну трикутну призму, а у призму – циліндр. Знайдіть відношення об'ємів циліндрів.

 а)  1 : 3;      
 б)  3 : 4;     

 в)  1 : 4;      
 г)  2 : 3.

11. У циліндр вписано призму, основою якої є прямокутний трикутник з катетом  1  і прилеглим до нього кутом  60°. Визначити об'єм циліндра, якщо висота призми дорівнює  ¹/_π.

 а)  3;      
 б)  2;     

 в)  5;      
 г)  1.

12. Навколо кулі описана правильна трикутна призма. Знайти відношення об'ємів призми і кулі.

Завдання до уроку 17

• Завдання 1
• Завдання 3

Завдання 1. Комбінації тіл (2)

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

Комбінації тіл (2)

 1. Ребро куба  АВСDА₁В₁С₁D₁  дорівнює  6 см. Знайти об'єм піраміди з основою  ВDD₁  і вершиною  С. 

 а)  32 см³;     

 б)  36 см³;     

 в)  38 см³;     

 г)  34 см³.

 2. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює  а, а висота – Н. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо цієї призми.

 3. Основа прямої призми – рівнобедрений трикутник з кутом  α  при основі. Діагональ бічної грані призми, що містить бічну сторону основи, дорівнює  d  і нахилена до площини основи під кутом  β. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо призми.

 4. У паралелепіпеді  ABCDA₁B₁C₁D₁  проведено переріз через пряму  BD  і точку  А₁. Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо об'єм піраміди  A₁ABD  дорівнює  F.

 а)  4V;      
 б)  9V;     

 в)  6V;      
 г)  2V.

 5. Точки  M, K  і  P – середини ребер  

A₁D₁, D₁C₁  і  DD₁  

куба  ABCDA₁B₁C₁D₁  відповідно. Знайдіть об'єм піраміди  

D₁MKP, 

якщо об'єм куба дорівнює  V.

 6. Усередині призми з об'ємом  V  взято довільну точку  О  й побудовано дві піраміди з вершиною  О, що мають основами основи призм. Знайти суму об'ємів цих пірамід.

 7. У циліндр вписано куб, об'єм якого дорівнює  8 см². Знайти об'єм циліндра.

 а)  3π см³;     

 б)  8π см³;     

 в)  4π см³;     

 г)  2π см³.

 8. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює  6 см, а бічне ребро – 4 см. Знайдіть об'єм конуса, описаного навколо цієї піраміди.

 а)  8π см³;     

 б)  12π см³;     

 в)  4π см³;     

 г)  6π см³.

 9. Бічні ребра піраміди дорівнює  b, а її основою є прямокутний трикутник з катетом  а  і прилеглим до нього кутом  β. Знайдіть об'єм конуса, описаного навколо цієї піраміди.

10. Основою піраміди є ромб зі стороною  16 см  і гострим кутом  60°. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють  30°. Знайдіть об'єм конуса, вписаного в дану піраміди.

 а)  60π см³;     

 б)  62π см³;     

 в)  68π см³;     

 г)  64π см³.

11. Знайти відношення об'ємів кулі та вписаного в неї куба.

12. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція, основи якої дорівнюють  8  і  2. Висота призми дорівнює  ¹⁰/_π. Знайти об'єм циліндра, вписаного в цю призму.

 а)  40;      
 б)  36;     

 в)  45;      
 г)  42.

Завдання до уроку 17

• Завдання 2
• Завдання 3