Урок 16. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:

Где  a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s –  заданные числа;  x, y, z – неизвестные. Числа  a, b, c, e, f, g, p, q, r – коэффициенты при неизвестных;  d, h, s – свободные члены.

Нормальный вид уравнения первой степени с тремя неизвестными.

Если в уравнении  1-й  степени с  3  неизвестными х, у  и  z, сделать определённые преобразования, то мы приведем уравнение к такому виду (называемому нормальным), при котором в левой части уравнения находятся только три члена: один с  х, другой с  у  и третий с  z, а в правой части будет один член, не содержащий неизвестных.

ПРИМЕР:

Уравнение:

5х – 3у – 4z = –12.

Общий вид его есть следующий:

ах + by + cz = d,
где  а, b, с  и  d  какие-нибудь относительные числа.

Неопределенность двух и одного уравнения с тремя неизвестными.

ПРИМЕР:

Предположим, нам дана система  2  уравнений с  3  неизвестными:

Назначим одному неизвестному, например  z, какое-нибудь произвольное число, предположим  1, и подставим это число на место  z:

Мы получили таким образом систему  2  уравнений с  2 неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем:

 х = 2, у = 3;

значит, данная система с  3  неизвестными удовлетворяется при

 х = 2;  у = 3;  z =1.

Дадим теперь неизвестному z  какое-нибудь иное значение, например  z = 0, и подставим это значение в данную систему уравнений, получим:

Мы снова получим систему  2  уравнений с  2  неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем:

х = ²⁰/₁₁ = 1⁹/₁₁;  
у = 2⁴/₁₁.

Значит, данная система удовлетворяется при

х = 1⁹/₁₁;  
у = 2⁴/₁₁  и  
z = 0.

Назначив для  z  еще какое-нибудь (третье) значение, мы снова получим систему  2  уравнений с  2  неизвестными, из которой найдем новые значения для  х  и  у. Так как для  z  мы можем назначать сколько угодно различных чисел, то и для  х  и  у  можем получить сколько угодно значений (соответствующих взятым значениям  z). Значит, 2  уравнения с  3  неизвестными допускают бесчисленное множество решений; другими словами, такая 
система неопределенна.

Еще большая неопределенность будет, если имеется всего  1 уравнение c  3  неизвестными. Тогда можно будет для каких-нибудь  2  неизвестных назначить произвольные числа; третье же неизвестное найдется из данного уравнения, если подставить в него значения, взятые произвольно для двух неизвестных.
Для того, чтобы можно было найти определенные численные значения для трех неизвестных  х, у  и  z, необходимо, чтобы была задана система  3  уравнений. Такая система может быть решена способом подстановки, а также и способом сложения или вычитания уравнений. Покажем применение этих способов на следующем примере (каждое уравнение предварительно приведено к нормальному виду):

ПРИМЕР:

Способ подстановки. 

Из какого-нибудь уравнения, например из первого, определим одно неизвестное, например  х, как функцию от двух остальных неизвестных:

Так как во всех уравнениях  х  означает одно и то же число, то мы можем подставить найденное выражение на место  х  в остальные уравнения:

Мы приходим таким образом к системе  2  уравнений с  2 неизвестными  у  и  z. Решив эту систему по какому-нибудь из способов, указанных раньше, найдем численные значения для  у  и  z. В нашем примере это будут значения: у = 3, z = 2; подставив эти числа в выражение, выведенное нами для  х, найдем и это неизвестное:

Таким образом, предложенная система имеет решение 

х = 1, у = 3, z = 2 

(в чем можно убедиться поверкою).

Способ сложения или вычитания. 

Из  3  данных уравнений возьмем какие-нибудь два, напр. 1-е и 2-е, и, уравняв в них коэффициенты перед одним неизвестным, напр., перед  z, исключим из них это неизвестное способом сложения или вычитания; от этого получим одно уравнение c  2  неизвестными х  и  у. Потом, возьмем какие-нибудь два других уравнения из  3  данных, напр. 1-е и 3-е (или  2-е и 3-е), и тем же способом исключим из них то же неизвестное т. е. z; от этого получим еще одно уравнение с  х  и  у:

Решим получившиеся два уравнения: 

 x = 1, у = 3.

Вставим эти числа  в одно из трех данных уравнений,  например, в первое:

3 × 1 – 2 × 3 + 5z = 7;
5z = 7 – 3 + 6 = 10;  
z = 2.

Замечание. 

Теми же двумя способами мы можем привести систему  4  уравнений с  4  неизвестными к системе  3  уравнений с  3  неизвестными (а эту систему – к системе  2  уравнений с  2 неизвестными и т. д.). Вообще систему  m  уравнений с  m  неизвестными мы можем привести к системе  m – 1  уравнений с  m – 1  неизвестными (а эту систему к системе  m – 2  уравнений с  m – 2  неизвестными и т. д.).

Некоторые особые случаи систем уравнений.

Случай, когда не все неизвестные входят в каждое из данных уравнений.

ПРИМЕР:

В этом случае система решается быстрее, чем обыкновенно, так как в некоторых уравнениях уже исключены те или другие неизвестные. Надо только сообразить, какие неизвестные и из каких уравнений следует исключить, чтобы возможно скорее дойти до одного уравнения с одним неизвестным. В нашем примере, исключив  z  из 1-го и  3-го уравнений и  v  из  2-го и  1-го, получим  2  уравнения с  х  и  у:

Решив  эти  уравнения, найдем:

х = 0,   y = ¹/₃ .

Теперь вставим эти числа во  2-е  и  3-е  уравнения, тогда получим:

v = ³/₂ ,   z = ¹⁶/₉ = 1⁷/₉.

Случай, когда полезно все данные уравнения сложить.

ПРИМЕР:

Сложив все три уравнения, найдем:

Вычтя из последнего уравнения каждое из данных, получим:

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на  –2  и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем

– 3у + 6z = –3.

Это уравнение можно переписать в виде

у – 2z = 1.

Складывая первое уравнение с третьим, получаем  7у = 7, или  у = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид:

Подставляя  у = 1  во второе уравнение, находим  z = 0. Подставляя  у = 1  и  z = 0  в первое уравнение, находим  х = 1.

ОТВЕТ:  (1; 1; 0) 

ПРИМЕР:

Решить систему уравнений:

РЕШЕНИЕ:

Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения  х  через  у  и  z  и подставим результат во второе и третье уравнение системы.

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решим эту систему методом подстановки.

Из уравнения

z² – 4z + 3 = 0

находим

z₁ = 1, z₂ = 3.

Из уравнения  у = z – 3  получаем соответственно

у₁ = –2, у₂ = 0,

а из уравнения  х = 2 – у –  z  находим

х₁ = 3, х₂ = –1.

Получили два решения исходной системы:

(3; –2; 1)  и  (–1; 0; 3).

Задания к уроку 16

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Линейные уравнения с одной переменной и целыми свободными членами
• Урок 2. Линейные уравнения с одной переменной и дробными свободными членами
• Урок 3. Применение правил определения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого для решения задач
• Урок 4. Применение правил определения неизвестного множителя для решения задач
• Урок 5. Решение уравнений, сводимых к линейным
• Урок 6. Решение уравнений с переменной в знаменателе
• Урок 7. Применение правил опреднления делимого и делителя для решения задач
• Урок 8. Линейные уравнения с двумя переменными
• Урок 9. Решение линейных уравнений с помощью графиков
• Урок 10. Линейные уравнения с параметрами
• Урок 11. Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
• Урок 12. Решение систем уравнений способом подстановки
• Урок 13. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения
• Урок 14. Решение линейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 15. Решение задач с помощью систем уравнений первой степени
• Урок 17. Полное квадратное уравнение общего вида
• Урок 18. Приведённое квадратное уравнение
• Урок 19. Теорема Виета
• Урок 20. Неполные квадратные уравнения
• Урок 21. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
• Урок 22. Графический способ решения квадратных уравнений
• Урок 23. Квадратный трёхчлен
• Урок 24. Квадратные уравнения с параметрами
• Урок 25. Дробные рациональные уравнения
• Урок 26. Решение задач с помощью квадратных уравнений
• Урок 27. Уравнение окружности
• Урок 28. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными
• Урок 29. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
• Урок 30. Пересечение прямой и окружности
• Урок 31. Решение нелинейных систем уравнений с помощью графиков
• Урок 32. Системы уравнений с параметрами
• Урок 33. Уравнения высших стапеней
• Урок 34. Решение уравнений способом замены
• Урок 35. Решение систем уравнений способом замены
• Урок 36. Задачи на нахождение чисел
• Урок 37. Задачи на нахождение цифр
• Урок 38. Решение задач на смешивание с помощью уравнений
• Урок 39. Решение задач на смешивание с помощью систем уравнений
• Урок 40. Иррациональные уравнения
• Урок 41. Уравнения с модулем