Урок 21. Конечные десятичные дроби

понедельник, 30 июня 2014 г.

Урок 21. Конечные десятичные дроби

ВИДЕО УРОК

Десятичная дробь, её запись и чтение.

Так называемая десятичная запись дробных чисел может быть использована как для натуральных, так и дробных чисел. Она выглядит как набор из двух и более цифр, между которыми находится запятая.

Десятичная запятая нужна для того, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как правило, последняя цифра десятичной дроби не бывает нулём, за исключением случаев, когда десятичная запятая стоит сразу после первого же нуля.

ПРИМЕР:

Приведём примеры записи десятичных дробей.

34,21,

0,3503,

0,0001,

11234,78.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой:

5.67,

6789.1011,

0.728.

Этот вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей.

Основываясь на понятии десятичной записи, можно сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Десятичные дроби представляют собой дробные числа в десятичной записи.

Для чего нам нужна запись дробей в такой форме ? Она даёт нам некоторые преимущества перед обыкновенными дробями, например, более компактную запись. Особенно в тех случаях, когда в знаменателе стоят 1000, 100, 10, то есть находится число, состоящее из единицы и нулей.

ПРИМЕР:

⁶/₁₀ = 0,6,

⁸³⁵/₁₀₀ = 8,35,

²⁸/₁₀₀₀ = 0,028.

Как правильно читать десятичные дроби.

Существуют некоторые правила чтения записей десятичных дробей. Так, те десятичные дроби, которым соответствуют их правильные обыкновенные эквиваленты, читаются почти также, но с добавлением слов <<ноль целых>> в начале. Так запись 0,14, которой соответствует обыкновенная дробь ¹⁴/₁₀₀, читается как <<ноль целых четырнадцать сотых>>.

Если же десятичной дроби можно поставить в соответствии смешанное число, то она читается тем же образом, как и это число. Так, если у нас есть дробь 6,002, которая соответствует обыкновенной дроби ⁶⁰⁰²/₁₀₀₀, то читается такая запись так <<шесть целых две тысячных>>.

Ранее мы рассматривали дроби со всевозможными знаменателями и называли их обыкновенными дробями. Это любая дробь, которая возникала в процессе измерения или деления, независимо от того, какой у нас получался знаменатель. Теперь из множества дробей мы выделим дроби со знаменателями: 10, 100, 1000 и т. д.

Дроби, знаменателями которых являются только числа, изображаемые единицей (1) с последующими нулями (одним или несколькими), называются десятичными.

ПРИМЕР:

Десятичные дроби записывают без знаменателя по тем же правилам, по каким записывают целые числа. В целом числе на первом месте стоят единицы, на втором месте слева – десятки, на третьем месте слева – сотни и т. д.

ПРИМЕР:

Если в числе 222 с правой стороны припишем ещё одну цифру, например 3, то она будет обозначать единицы, в десять раз меньшие предыдущих, иными словами, она будет обозначать десятые доли единицы; получится число, содержащее 222 целых единицы и 3 десятых доли единицы. Принято между целой и дробной частью числа ставить запятую, т. е. писать так: 222,3 и читать: двести двадцать две целых, три десятых. Если мы после тройки в этом числе припишем ещё цифру справа, например 4, то она будет обозначать 4 сотых доли единицы; число примет вид: 222,34 и произносится: двести двадцать две целых, тридцать четыре сотых.

При написании десятичных дробей нужно обозначать нулём недостающие целые и дробные разряды:

ПРИМЕР:

0,325 – нет целых;

0,012 – нет целых и нет десятых;

1,208 – нет сотых;

0,20408 – нет целых, сотых и десятитысячных.

Разряды в десятичных дробях.

Значение цифры в записи десятичной дроби зависит от того на каком месте она расположена (так же, как и в случае с натуральными числами).

Цифры, стоящие правее запятой, принято называть десятичными знаками. Первый разряд после запятой называют разрядом десятых, второй – разрядом сотых, третий – разрядом тысячных и так далее. Благодаря поместному принципу записи десятичные дроби имеют большое преимущество перед обыкновенными дробями: при сравнении десятичных дробей и выполнении действий над ними нет необходимости приводить их к общему знаменателю. Поэтому на практике чаще пользуются десятичными дробями.

Так, в десятичной дроби

0,7 семёрка – десятые доли, в

0,0007 – десятитысячные доли, а в дроби

70000,345 она означает семь десятков тысяч целых единиц.

Таким образом, в десятичных дробях тоже существует понятие разряда числа.

Названия разрядов, расположенных до запятой, аналогичны тем, что существуют в натуральных числах.

Чтобы не допустить ошибки при написании десятичных дробей, нужно помнить, что после запятой в изображении десятичной дроби должно быть столько цифр, сколько будет нулей в знаменателе, если бы эту дробь мы написали со знаменателем. Большое значение при написании десятичных дробей имеет нуль. Всякая правильная десятичная дробь имеет нуль на месте целых для обозначения того, что целые в такой дроби отсутствуют. Помните, что приписывание справа нулей к десятичной дроби не изменяет её величины, также при приписывании слева нулей к десятичной дроби тоже не изменяет её величины. Но приведение десятичных дробей к общему знаменателю осуществляется посредством приписывания нулей к этим дробям.

ПРИМЕР:

Рассмотрим десятичную дробь:

43,098,

У неё в разряде десятков находится четвёрка, в разряде единиц – тройка, в разряде десятых – ноль, сотых – девятка, тысячных – восьмёрка.

Принято различать разряды десятичных дробей по старшинству. Если мы движемся по цифрам слева направо, то мы будем идти от старших разрядов к младшим. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные доли младше, чем сотые. Если взять ту конечную десятичную дробь, рассмотренную ранее, то в ней старшим, или высшим будет разряд сотен, а младшим, или низшим – разряд тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить по отдельным разрядам, то есть представить в виде суммы. Это действие выполняется так же, как и для натуральных чисел.

ПРИМЕР:

Разложите дробь 56,0455 по разрядам.

РЕШЕНИЕ:

50 + 6 + 0,04 + 0,005 + 0,0005

Если использовать свойства сложения, то можно представить эту дробь в другом виде:

56 + 0,0455,

или

56,0055 + 0,04.

Превращение обыкновенной дроби в десятичную дробь.

Обыкновенные дроби можно разглядывать, как частное от деления числителя на знаменатель. При делении числителя на знаменатель получаем десятичные дроби. Существует несколько способов превращения обыкновенной дроби в десятичную дробь.

ПЕРВЫЙ СПОСОБ

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную дробь, нужно помножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилась единица с нулями (если это возможно).

ПРИМЕР:

Однако следует иметь в виду, что не всякую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную (конечную).

В виде конечной десятичной дроби можно представить все те, и только те обыкновенные дроби, которые после сокращения в знаменателе не содержат никаких простых множителей, кроме 2 и 5.

ПРИМЕР:

Дроби

³/₄ и ⁷/₂₀

преобразуются в конечные десятичные дроби. Знаменатели этих дробей:

4 = 2 × 2;

20 = 2 × 2 × 5.

имеют в своём разложении на простые множители лишь два простых числа 2 и 5. Кроме деления числителя на знаменатель, превратить такие дроби в десятичные можно ещё и так:

В обоих случаях дополнительными множителями мы выбрали такие, чтобы сравнять количество двоек и пятёрок в знаменателях. Тогда в знаменателях получили числа, записанные единицей со следующими нулями. А такие обыкновенные дроби можно записать конечными десятичными дробями.

ПРИМЕР:

Переведите обыкновенную дробь ³/₂₀ в десятичную.

РЕШЕНИЕ:

Убеждаемся, что дробь можно перевести в конечную десятичную.

Умножаем числитель и знаменатель на 5. В знаменателе получим 100.

ОТВЕТ: 0,15

ПРИМЕР:

Переведите обыкновенную дробь ¹¹/₄₀ в десятичную.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: 0,275

ВТОРОЙ СПОСОБ

Этот способ более сложный, но применяется чаще первого. Для этого, чтобы его использовать, нужно знать деление уголком.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную дробь, нужно числитель разделить на знаменатель.

ПРИМЕР:

Переведите обыкновенную дробь ⁷⁸/₂₀₀ в десятичную.

РЕШЕНИЕ:

Убеждаемся, что дробь можно перевести в конечную десятичную.

Делим уголком числитель на знаменатель.

ОТВЕТ: 0,39

ПРИМЕР:

Приведём список дробей, со знаменателями, которые чаще других встречаются в заданиях.

Превращение десятичной дроби в обыкновенную дробь.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную дробь, её записывают со знаменателем и, если это возможно, сокращают.

ПРИМЕР:

Основное свойство десятичной дроби.

Значение десятичной дроби не изменится, если к ней справа дописать несколько нулей.

ПРИМЕР:

0,3 = 0,30 = 0,300 и т. д.

Это свойство является следствием основного свойства обыкновенных дробей.

ПРИМЕР:

На основании этого свойства выполняется раздробление и сокращение десятичных дробей. Чтобы выразить десятичную дробь в меньших десятичных частях, т. е. выполнить раздробление, достаточно написать соответствующее число нулей после последнего её разряда.

ПРИМЕР:

2,31 = 2,310 = 2,3100 = 2,31000 и т. д.

В других случаях приходится решать обратную задачу: десятичную дробь, имеющую в конце хотя бы один нуль, выражать в более крупных десятичных частях (сокращение). Для этого достаточно зачеркнуть (отбросить) эти нули.

ПРИМЕР:

5,750 = 5,75;

12,700 = 12,7;

23,3000 = 23,3.

Сравнение десятичных дробей по величине.

При употреблении десятичных дробей очень важно уметь сравнивать между собой дроби и отвечать на вопрос, какие из них равны, какие больше и какие меньше. Из двух десятичных дробей та больше, у которой число целых больше; при равенстве целых та дробь больше, у которой число десятых больше; при равенстве целых и десятых та дробь больше, у которой число сотых больше, и т. д.

ПРИМЕР:

Возьмём две дроби:

3,5 и 2,5

и сравним их по величине. Десятичные знаки у них одинаковые, но у первой дроби 3 целых, а у второй 2. Значит первая дробь больше второй:

3,5 > 2,5.

ПРИМЕР:

Возьмём две дроби:

0,4 и 0,38.

Для сравнения этих дробей нужно приписать справа к первой дроби нуль. Тогда мы будем сравнивать дроби 0,40 и 0,38. Каждая из них имеет после запятой две цифры: значит у этих дробей один и тот же знаменатель 100. Нам нужно только сравнить их числители, но числитель 40 больше 38. Значит первая дробь больше второй:

0,4 > 0,38.

ПРИМЕР:

Из трёх дробей:

2,432;

2,41;

2,4098,

Наибольшая первая, так как в ней сотых больше, а целые и десятые во всех дробях одинаковы.

Чтобы увеличить десятичную дробь в 10 раз, нужно перенести запятую в ней на один знак вправо.

Чтобы увеличить её в 100 раз, нужно перенести запятую на два знака вправо:

Чтобы увеличить в 1000 раз – на три знака вправо и т.д.

Если при этом не хватает знака у числа, то приписывают к нему справа нули.

ПРИМЕР:

Увеличим дробь 1,5 в 100 раз, перенеся запятую на два знака; получим 150.

Обратно, если требуется уменьшить десятичную дробь в 10, в 100, в 1000 и т. д. раз, то нужно перенести в ней запятую влево на один, два, и т. д. знака.

Значащие цифры.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой слева (отличной от нуля) до последней, за правильность которой можно ручаться (даже если это нуль, который в точных десятичных дробях на конце просто не пишется).

ПРИМЕР:

5 – одна значащая цифра;
0,5 – одна значащая цифра (один десятичный знак);
0,05 – одна значащая цифра (два десятичных знака);
0,25 – две значащие цифры (два десятичных знака);
0,025 – две значащие цифры (три десятичных знака);
0,304 – три значащие цифры (три десятичных знака);
0,0208 – три значащие цифры (четыре десятичных знака);
1234 – четыре значащие цифры;
0,2134 – четыре значащие цифры (четыре десятичных знака);
0,01034 – четыре значащие цифры (пять десятичных знаков).

Все десятичные дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными дробями. Это означает, что количество цифр, расположенное у них после запятой, являются конечным.

Конечные десятичные дроби представляют собой вид десятичных дробей, у которых после знака запятой стоит конечное число знаков.

ПРИМЕР:

0,367, 3,7,

55,102567958,

231,032.

Любую из этих дробей можно перевести либо в смешанное число (если значение их дробной части отличается от нуля), либо в обыкновенную дробь (при нулевой целой части).

Но обратный процесс, то есть запись обыкновенной дроби в десятичном виде, может быть выполнен не всегда.

Задания к уроку 21:

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 30 июня 2014 г.