Урок 9. Системи показникових і логарифмічніих рівнянь | Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 14 ноября 2017 г.

Урок 9. Системи показникових і логарифмічніих рівнянь

При розв'язуванні системи, що містять показникові і логарифмічні рівняння, використовують прийоми розв'язування систем (спосіб підстановки, спосіб додавання, заміну змінних) та методи розв'язування показникових і логарифмічних рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:

З першого рівняння системи

у = 1 – х.

Тоді з другого рівняння одержуємо

4^х + 4^1-х = 5,

тобто

Заміна 4^х = t дає рівняння

З якого одержуємо рівняння

t² – 5t + 4 = 0,

Що має корені:

t₁ = 1, t₂ = 4.

Обернена заміна дає 4^х = 1,

тоді x₁ = 0 або 4^х = 4,

звідки x₂ = 1.

Знаходимо відповідні значення

у = 1 – х:

Якщо x₁ = 0, то у₁ = 1;

Якщо x₂ = 1, то у₂ = 0.

ВІДПОВІДЬ:

(0; 1), (1; 0)

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:

Заміна

дає систему

З другого рівняння цієї системи маємо

u = 2 + v.

Тоді з першого рівняння одержуємо

(2 + v)² – v² = 16.

Звідси v = 3, тоді u = 5.

Обернена заміна дає

ВІДПОВІДЬ:

(2; 2).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:

За означенням логарифма маємо:

Із другого рівняння останньої системи одержуємо

у = х + 3

і підставляємо в перше рівняння:

х(х + 3) = 4,

х² + 3х – 4 = 0,

х₁ = 1, х₂ = –4.

Тоді

у₁ = 4, у₂ = –1.

– розв'язок заданої системи.

ПЕРЕВІРКА:

– сторонній розв'язок (під знаком логарифма одержуємо від’ємні числа).

ВІДПОВІДЬ:

(1; 4).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему рівнянь:

ОДЗ:

Тоді з першого рівняння маємо:

Заміна t = log_хy дає рівняння

t² – 2t + 1 = 0, t = 1.

Обернена заміна дає

log_хy = 1,

тобто у = х.

Тоді з другого рівняння системи маємо:

х² – х – 20 = 0,

х₁ = –4 (не входить до ОДЗ),

х₂ = 5 (входить до ОДЗ).

Отже, розв'язок заданої системи:

х = 5, у = 5.

ВІДПОВІДЬ:

(5; 5).

Завдання до уроку 9

Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)