Урок 2. Показательные уравнения

Что такое показательное уравнение ?

Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней.

ПРИМЕР:

5^х+2 = 125,

3^х × 2^х = 8^х+3,

3^2х + 4 × 3^х – 5 = 0.

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) – только числа. В показателях степеней (вверху) – самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:

2^х = 3 + х,

Это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде. Хотя даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно.

Решение простейших показательных уравнений.

ПРИМЕР;

3^х = 3².

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что

х = 2.

Никакое другое значение  х  не подходит. Что мы сделали ? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки)

Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней.

Однако запомните: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов.

ПРИМЕР:

2^х + 2^х+1 = 2³,

2 × 2^х = 2⁴.

Двойки убирать нельзя!

Для решения более сложных уравнений надо приводить его к виду, когда слева и справа стоит одно и то же число – основание, т. е. берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду.

Решение простых показательных уравнений.

При решении показательных уравнений, главные правила – действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится. К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку.

Нам требуются одинаковые числа – основания ? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.

ПРИМЕР:

2^2х – 8^х+1 = 0.

Первый взгляд на основания. Они разные. Два и восемь. Самое время вспомнить, что

8 = 2³.

Двойка и восьмёрка – родственники по степени. Вполне можно записать:

8^х+1 = (2³)^х+1.

Если вспомнить формулу из действий со степенями:

(аⁿ)^m = a^nm,

то получается:

8^х+1 = (2³)^х+1 = 2^3(х+1).

Исходный пример стал выглядеть так:

2^2х – 2^3(х+1) = 0.

Перенесём  2^3(х+1)  вправо, получаем:

2^2х = 2^3(х+1).

Убираем основания:

2х = 3(х +1),

х = –3.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) – очень популярный приём в показательных уравнениях. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для показательных уравнений. Дело в том, что возвести любое число в любую степень – не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести  3  в пятую степень сможет каждый (243  получается, если таблицу умножения знаете). Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом  243, или скажем, 343. Здесь никакой калькулятор не поможет.

Степени некоторых чисел желательно знать наизусть:

2 = 2¹,  
4 = 2², 

8 = 2³,  
16 = 2⁴ = 4²,  

27 = 3³,  
32 = 2⁵, 

64 = 2⁶ = 4³ = 8², 

81 = 3⁴,  
100 = 10², 

125 = 5³,  
128 = 2⁷, 

216 = 6³,  
243 = 3⁵, 

256 = 2⁸ = 4⁴, 

343 = 7³, 

512 = 2⁹ = 8³, 

625 = 5⁴, 

729 = 3⁶ = 9³, 

1024 = 2¹⁰ = 4⁵.

При решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки.

ПРИМЕР:

3^2х+4 = 11×9^х = 210.

Первый взгляд – на основания! Основания у степеней разные. Тройка и девятка. А надо, чтобы были одинаковые. Делаем следующее:

9^х = (3²)^х = 3^2х.

По тем же правилам действий со степенями:

3^2х+4 = 3^2х×3⁴,

поэтому:

3^2х×3⁴ – 11×3^2х = 210.

Мы привели пример к одинаковым основаниям.

Что в этом показательном уравнении можно сделать ?

Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно – делай, что можно!

В левой части прямо просится вынесение за скобки множителя  3^2х.

3^2х (3⁴ – 11) = 210.

Подсчитаем выражение в скобках:

3⁴ – 11 = 81 – 11 = 70.

Тогда:

70×3^2х = 210.

Для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, без всяких коэффициентов, поэтому делим обе части уравнения на  70:

3^2х = 3,

3^2х = 3¹,

2х = 1,

х = 0,5.

Случается, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация – никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа.

Замена переменной в решении показательных уравнений.

ПРИМЕР:

4^х – 3×2^х + 2 = 0.

Сначала переходим к одному основанию. К двойке.

4^х = (2²)^х = 2^2х.

Получим уравнение:

2^2х – 3×2^х + 2 = 0.

Предыдущие приёмы не сработают. Поэтому есть ещё один универсальный способ. Называется он замена переменной. Суть способа проста. Вместо одного сложного значка (в нашем случае – 2^х) пишем другой (например t).

Пусть:

2^х = t,

Тогда

2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t².

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t² – 3×t  + 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение, получаем:

t₁ = 2,

t₂ = 1.

t₁ = 2 = 2^х,

2^х = 2,

х₁ = 1.

t₂ = 1 = 2^х,

2^х = 1⁰,

х₂ = 0.

Практические советы:

– Первым делом смотрите на основания степеней. Пробуйте, нельзя ли их сделать одинаковыми. Надо это делать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени.
– Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используйте действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах – считаем.

– Если предыдущий совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратном.
– Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать в ”лицо”.

Формулы, которые помогут вам решить показательные уравнения.

Задания к уроку 2

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Показательная функция.
• Урок 3. Показательные неравенства
• Урок 4. Логарифм числа
• Урок 5. Логарифмические вычисления
• Урок 6. Логарифмическая функция
• Урок 7. Логарифмические уравнения
• Урок 8. Логарифмические неравенства
• Урок 9. Системы показательных и логарифмических уравнений