среда, 21 октября 2015 г.

Урок 12. Найменше спільне кратне (НСК)

ВИДЕО УРОК
Спільне кратне чисел.

Загальним кратним даних чисел називається натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел (без залишку).

ПРИКЛАД:

Числа  12,  24  і  36  є спільними кратними чисел  3  і  4.

Найменше спільне кратне.

З усіх загальних кратних особливий інтерес представляє найменше спільне кратне  (НСК).

Найменшим спільним кратним декількох чисел називається найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Найменше спільне кратне  (НСК) чисел  а  і  b – це найменше число, яке кратне  а  і  b. Іншими словами, це таке маленьке число, яке ділиться без залишку на число  а  і число  b.

Визначення містить дві змінні  а  і  b. Підставами замість цих змінних будь-які два числа. Наприклад, замість змінної а підставами число  9, а замість змінної  b  підставимо число  12. Прочитаємо визначення:
Найменше спільне кратне чисел  9  і  12 – це найменше число, яке кратне  9  і  12. Іншими словами, це таке маленьке число, яке ділиться без залишку на число  9  і число  12.
З визначення зрозуміло, що найменше спільне кратне це найменше число, яке ділиться без залишку на  9  і  12. Це найменше спільне кратне потрібно знайти.

ПРИКЛАД:

Для чисел  10  і  15  найменшим спільним кратним (скорочено  НОК) буде число  30

НСК (10, 15) = 30;

Для чисел  12  і  18  таким буде число  36

НСК (12, 18) = 36;

Для чисел  6, 15  і  20 – очевидно, число  60, так як ніяке натуральне число, менше  60, не ділиться на  6, на  15  і на  20, а  60  ділиться на ці числа.

НСК (6, 15, 20) = 60;

Для знаходження найменшого спільного кратного  (НСК)  можна користуватися трьома способами.

Перший спосіб знаходження  НСК.

Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед цих кратних таке число, яке буде спільним для обох чисел і маленьким.

ПРИКЛАД:

Знайти  НСК  чисел  9  і  12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В першу чергу, знайдемо перші кратні для числа  9. Щоб знайти кратні для  9, потрібно цю дев'ятку черзі помножити на числа від  1 до  9. Отримані відповіді будуть кратними для числа  9.

9 × 1 = 9
9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81

Тепер знаходимо кратні для числа  12. Для цього по черзі помножимо число  12  на все числа від  1  до  12.

12 × 1 = 12
12 × 2 = 24
12 × 3 = 36
12 × 4 = 48
12 × 5 = 60
12 × 6 = 72
12 × 7 = 84
12 × 8 = 96
12 × 9 = 108
12 × 10 = 120
12 × 11 = 132
12 × 12 = 144

 Отримаємо наступний результат:
Тепер знайдемо загальні кратні обох чисел. Знайшовши, відразу підкреслимо їх:
Загальним кратним для чисел  9  і  12  є кратні  36  і  72. Найменшим ж з них є  36. Значить найменше спільне кратне для чисел  9  і  12  це число  36. Дане число ділиться на  9  і  12  без залишку:

36 : 9 = 4,
36 : 12 = 3.

ВІДПОВІДЬ:

НОК (9; 12) = 36

Другий спосіб знаходження  НСК.

Другий спосіб полягає в тому, що числа, для яких шукається найменше спільне кратне, розкладаються на прості множники. Потім виписуються множники, що входять у першу розкладання, і додаються відсутні множники з другого розкладання. Отримані множники перемножують і отримують  НСК.

Щоб знайти найменше спільне кратне кількох чисел, треба розкласти ці числа на прості множники, потім, узявши розкладання одного з них, помножити його на відсутні прості множники з розкладів інших чисел.

ПРИКЛАД:

Знайти  НСК  чисел  9  і  12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо на множники число  9.
Розкладемо на множники число  12.
Випишемо першого розкладання

3 × 3

Тепер допишемо множники з другого розкладання, яких немає в першому розкладанні. У першому розкладанні немає двох двійок. Їх і допишемо:

3 × 3 × 2 × 2.

Перемножимо ці множники:

3 × 3 × 2 × 2 = 36.

Отримали відповідь  36. Значить найменше спільне кратне чисел  9  і 12  це число  36. Дане число ділиться на  9  і  12  без залишку:

36 : 9 = 4,
36 : 12 = 3.

ВІДПОВІДЬ:

НСК (9; 12) = 36

Все зводиться до того, щоб організувати нове розкладання, куди входять обидва розкладання відразу.
Розкладанням першого числа  9  були множники  3  і  3, а розкладанням другого числа  12  були множники  2, 2  і  3.
Завдання полягало в тому, щоб організувати нове розкладання, куди входило б розкладання числа  9  і розкладання числа  12  одночасно. Для цього ми виписали розкладання першого числа і дописали туди множники з другого розкладання, яких не було в першому розкладанні. В результаті вийшло нове розкладання

3 × 3 × 2 × 2.


Видно, що в нього одночасно входять розкладання числа  9  і розкладання числа  12.
ПРИКЛАД:

Нехай потрібно знайти найменше спільне кратне чисел  90, 60  і  50. Розкладемо попередньо ці числа на прості множники:

90 = 2 × 3 × 3 × 5;    
60 = 2 × 2 × 3 × 5;    
50 = 2 × 5 × 5.

Найменше спільне кратне має ділитися на  90, значить, до складу його повинні входити всі множники числа  90. Далі найменше кратне має ділитися і на  60, тобто в його склад повинні входити множники і цього числа, нарешті, одночасно з цим воно повинне ділитися і на останнє число – 50, отже, воно повинно містити множники і цього останнього числа. З огляду на всі ці обставини, вчинимо так: випишемо спочатку все множники першого числа (90), а потім, що б забезпечити подільність шуканого кратного на інші числа, додамо до написаним множників з інших чисел ті множники, яких бракує в розкладанні числа  90. Отримаємо наступне:

НСК (90, 60, 50) =
2 × 3 × 3 × 5 × 2 × 5
= 900.

ПРИКЛАД:

Знайти найменше спільне кратне двох чисел

А = 180  і 
В = 140.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

А = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 =
2 × 2 × 3 × 15 =
2 × 2 × 3 × 3 × 5;
В = 2 × 70 = 2 × 2 × 35 =
2 × 2 × 5 × 7.

Обчислюємо  С, рівне найменшого спільного кратного чисел  А  і  В.

С = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7= 1260.

ВІДПОВІДЬ:  1260

ПРИКЛАД:

Знайти  НСК чисел  50  і  180.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо на множники число  50.
Розкладемо на множники число  180.
Випишемо першого розкладання:

2 × 5 × 5.

Тепер допишемо множники з другого розкладання, яких немає в першому розкладанні. У першому розкладанні немає ще однієї двійки і двох трійок. Їх і допишемо:

2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3.

Тепер перемножимо ці множники:

2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3 = 900.

Отримали відповідь  900. Значить найменше спільне кратне чисел  50  і  180  це число  900. Дане число ділиться на  50  і  180  без залишку:

900 : 50 = 18,
900 : 180 = 5.

ВІДПОВІДЬ:

НСК (50; 180) = 900

ПРИКЛАД:

Знайти  НСК  чисел  8, 15  і  33.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо на множники число  8.
Розкладемо на множники число  15.
Розкладемо на множники число  33.
Випишемо першого розкладання:

2 × 2 × 2.

Тепер допишемо множники з другого і третього розкладання, яких немає в першому розкладанні. Допишемо множники  3  і  5  з другого розкладання, і множник  11  з третього розкладання:

2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11.

Тепер перемножимо ці множники:

2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 = 1320.

Отримали відповідь  1320. Значить найменше спільне кратне чисел 8, 15  і  33  це число  1320. Дане число ділиться на  8, 15 і 33  без залишку:

1320 : 8 = 165,
1320 : 15 = 88,
1320 : 33 = 40.

ВІДПОВІДЬ:

НСК (8; 15; 33) = 1320

Якщо якийсь простий множник входить в ці розкладання в різних ступенях, то в найменше спільне кратне він входить в найбільшій з цих ступенів.

ПРИКЛАД:

Знайти  НСК чисел  72  і  108.
Розкладемо дані числа на множники:

72 = 23 × 32,
108 = 22 × 33.

Випишемо всі множники числа  108  (це зручніше, так як число  108 більше  72) і, додавши множник  2, який ще додатково сміється в числі  72, отримаємо

НСК (72, 108) =
23 × 33 = 216.

Якщо більше з даних чисел ділиться на всі інші, то воно і буде найменшим спільним кратним цих чисел.

ПРИКЛАД:

НСК (60, 120, 40) = 120.

Якщо ніяка пара даних чисел не має загальних множників відмінних від одиниці, то для знаходження найменшого спільного кратного даних чисел їх потрібно перемножити.

ПРИКЛАД:

Найменше спільне кратне чисел

7,  8,  і  11 

одно їх добутку, тобто.

НСК (7, 8, 11) =
7 × 8 × 11 = 616.

Третій спосіб знаходження НСК.

Їм можна користуватися, якщо його шукають для двох чисел, і за умови, що вже знайдено найбільший спільний дільник цих чисел.
Відомо що.
Найменше спільне кратне двох чисел дорівнює добутку цих чисел, поділеній на їх найбільший спільний дільник.

ПРИКЛАД:

Знайти  НСК чисел  360  і  70. Так як 
НСД (360, 70) = 10, то 
НСК (360, 70) =
360 × 70 : 10 = 2520.

Даний спосіб розумніше використовувати, коли одночасно потрібно знайти  НСД і  НСК двох чисел.

ПРИКЛАД:

Знайти  НСД  і  НСК  чисел  24  і  12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо  НСД  цих чисел:
Тепер для знаходження найменшого спільного кратного чисел  24  і  12, потрібно перемножити ці два числа і отриманий результат розділити на їх найбільший спільний дільник. Спочатку перемножимо числа  24  і  12:
Розділимо отримане число  288  на  НСД  чисел  24  і  12:

288 : 12 = 24.

Отримали відповідь  24. Значить найменше спільне кратне чисел  24 и  12  дорівнює  24.

ВІДПОВІДЬ:

НСК (24; 12) = 24

ПРИКЛАД:

Знайти  НСД  і  НСК чисел  36  і  48.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знайдемо  НСД  цих чисел:
Тепер для знаходження найменшого спільного кратного чисел  36  і  48, потрібно перемножити ці два числа і отриманий результат розділити на їх найбільший спільний дільник. Спочатку перемножимо числа  36  і  48:
Розділимо отримане число  1728  на  НСД  чисел  36  і  48:
Отримали відповідь  144. Значить найменше спільне кратне чисел  36  і  48  одно  144.

ВІДПОВІДЬ:

НСК (36; 48) = 144

Для перевірки можна знайти  НСК  звичайним другим способом, яким ми користувалися раніше. Якщо все зроблено правильно, то ми повинні отримати відповідь  144.
Щоб знайти цим способом найменше спільне кратне трьох і більше чисел, спочатку знаходять найменше спільне кратне якихось двох з них, потім - найменше спільне кратне цього найменшого кратного і якогось третього даного числа і так далі.

Завдання до уроку 12
Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)