Урок 21. Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника

пятница, 23 октября 2015 г.

Урок 21. Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника

Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника виконується так само, як і в арифметиці. При знаходженні спільного знаменника у звичайних дробів ми знаходили найменше загальне кратне знаменників, розкладаючи їх у прості множники. Аналогічно для знаходження спільного знаменника алгебраїчних дробів може бути зручним розкладання знаменників на множники. Найпростішим загальним знаменником дробів з одночленними знаменниками є найменше загальне кратне коефіцієнтів знаменників (якщо вони – натуральні числа), помножене на всі різні літери, що входять до знаменника, причому кожну літеру беруть із найбільшим показником, з яким вона входить у знаменники.

Спільним знаменником кількох раціональних дробів називають цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу.

ПРИКЛАД:

Для дробів
спільними знаменниками будуть многочлени:

(х + 2)(х – 2) = х² – 4,

2(х² – 4), х(х² – 4).

Загальний знаменник, який ділиться будь-який інший спільний знаменник без залишку, називається найменшим загальним знаменником.

У наведеному прикладі найменшим загальним знаменником буде багаточлен х² – 4.

ПРИКЛАД:

Приведемо дріб
до знаменника 35y².

Так як

35y³ = 7y × 5y²,

то, помноживши чисельник і знаменник дробу
на 5y², отримаємо:

Множник 5y²називають додатковим множником до чисельника та знаменника дробу
Для обчислення найпростішого спільного знаменника дробів із многочленними знаменниками спочатку треба розкласти їх на множники.

ПРИКЛАД:

Найпростіший загальний знаменник дробів:

дорівнює 6а²b².

Додаткові множники такі:

6а²b² : ab = 6ab,

6а²b² : 3a²b = 2b,

6а²b² : 2а²b² = 3.

Тому маємо:

ПРИКЛАД:

Привести до спільного знаменника алгебраїчні дроби:

Отже,

ВІДПОВІДЬ:
Якщо не потрібно, щоб спільний знаменник був найпростішим, можна, не витрачаючи часу на розкладання многочленів, просто взяти за загальний знаменник додаток знаменників цих дробів.

ПРИКЛАД:

Спільним знаменником дробів
служить многочлен (х + 2)(х – 2), так як він ділиться і на х + 2, і на х – 2. Загальним знаменником можуть також служити і многочлен

3(х + 2)²(х – 2), і многочлен

х(х + 2)(х – 2), і многочлен

5х²(х + 2)(х – 2)³ тощо.

Зазвичай беруть такий спільний знаменник, що будь-який інший спільний знаменник поділяється на обраний. Такий найпростіший знаменник називають найменшим спільним знаменником.

У цьому прикладі найменший спільний знаменник дорівнює

(х + 2)(х – 2).

Маємо:

Приведення даних дробів до спільного знаменника досягнуто шляхом множення чисельника та знаменника першого дробу на х – 2, а чисельника та знаменника другого дробу на х + 2. Многочлени х – 2 та х + 2 називають додатковими множниками відповідно для першого та другого дробу. Додатковий множник для даного дробу дорівнює частці від поділу спільного знаменника на знаменник даного дробу.

Щоб кілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

– розкласти знаменник кожного дробу на множники;

– скласти спільний знаменник, включивши у добуток усі множники, отримані в результаті розкладів, якщо деякий множник є в кількох розкладаннях, він береться з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних;

– знайти додаткові множники для кожного дробу (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

– помноживши чисельник та знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник, привести дроби до спільного знаменника.

ПРИКЛАД:

Привести до спільного знаменника дробу:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо знаменники дробів на множники:

До загального знаменника треба включити такі множники:

(a – b), (a + b), а²,

а також найменше загальне кратне чисел 12, 18, 24, тобто

(12, 18, 24) = 72.

Отже, спільний знаменник має вигляд:

72а² ∙ (a – b)(a + b).

Додаткові множники: для першого дробу 6а², другого дробу 4(a – b), для третього дробу 3а(a + b). Отримуємо:

Завдання до уроку 21

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 23 октября 2015 г.