Урок 11. Найбільший спільний дільник (НСД)

среда, 21 октября 2015 г.

Урок 11. Найбільший спільний дільник (НСД)

ВИДЕО УРОК

Спільним дільником кількох натуральних чисел називають число, на яке діляться всі ці числа націло.

Спільний дільник двох чисел а і b – це число, на яке діляться без залишку обидва даних числа а і b.

ПРИКЛАД:

Випишемо всі дільники чисел 18 і 24:

дільники числа 18:

1, 2, 3, 6, 9, 18;

дільники числа 24:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Спільними дільниками (вони підкреслені) чисел 18 і 24 є числа 1, 2, 3, 6, найбільшим з них є 6. Число 6 є найбільшим натуральним числом, на яке діляться і 18, і 24.

Серед спільних дільників завжди є найбільший. Це число називається найбільшим спільним дільником (НСД).

Найбільшим спільним дільником (НСД) кількох натуральних чисел називають найбільший дільник, на який діляться ці числа націло.

Отже, найбільшим спільним дільником чисел 18 і 24 є число 6. Це скорочено записують так:

НСД(18; 24) = 6.

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел, користуються найчастіше двома способами.

ПЕРШИЙ СПОСІБ

Розкладання на прості множники.

Для розкладання числа на прості множники застосовуємо наступний прийом:

а) підбираємо найменше просте число, на яке ділиться це число;

б) представляємо це число як добуток знайденого простого множника і деякого натурального числа;

в) повторюваний пункти а) і б) для нового натурального числа до тих пір, поки воно не стане рівним одиниці.

Для відшукування НСД двох натуральних чисел слід виконати наступні операції:1) Розкласти кожне з цих чисел на прості множники.

Обчислення зручно записувати за допомогою вертикальної риси. Зліва від межі спочатку записуємо ділене, праворуч – дільник. Далі в лівому стовпчику записуємо значення приватних.

ПРИКЛАД:

Знайти найбільший спільний дільник чисел

28 і 64.

2) Підкреслено однакові прості множники в обох числах.

28 = 2 ∙ 2 ∙ 7.

64 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

3) Знайти добуток простих множників, що входять в кожне з цих чисел.

НОД (28, 64) = 2 ∙ 2 = 4.

Оформити знаходження НСД можна двома способами:

в стовпчик або в << рядок >>.

Перший спосіб запису НСД.

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел 48 і 36.

НСД (48; 36) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел 84 і 90.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладаємо числа 84 і 90 на прості множники:

Підкреслюємо все загальні прості множники і перемножуємо їх між собою:

1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Таким чином,

НСД (84; 90) = 6.

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел 15 і 28.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладаємо числа 15 і 28 на прості множники:

Числа 15 і 28 є взаємно простими, так як їх найбільший спільний дільник – одиниця.

НСД (15; 28) = 1.

Другий спосіб запису НСД.

Тепер запишемо рішення пошуку НСД в рядок.

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел 10 і 15.

Д(10) = {1, 2, 5, 10},

Д(15) = {1, 3, 5, 15},

Д(10; 15) = {1, 5}.

НСД (10; 15) = 5.

Якщо якийсь простий множник не входить в ці розкладання в різних мірах, то в найбільшого загального дільника він входить в найменшій з цих мір. Якщо немає жодного простого множника, що входить до обидва дані числа, то найбільший загальний дільник дорівнює одиниці.

ПРИКЛАД:

Знайти найбільшого загального дільника чисел

А = 180 і

В = 120.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

А = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 =

2 × 2 × 3 × 15 =

2 × 2 × 3 × 3 × 5;

В = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 =

2 × 2 × 2 × 15 =

2 × 2 × 2 × 3 × 5;

Обчислюємо С, рівне найбільшому загальному дільникові чисел А і В.

С = 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

ВІДПОВІДЬ: 60

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел:

210, 1260, 245.

Розкладемо ці числа на прості множники:

210 = 2 × 3 × 5 × 7,

1260 = 2² × 3² × 5 × 7,

245 = 5 × 7².

ДРУГИЙ СПОСІБ

Послідовне ділення.

Щоб знайти НСД двох чисел, ділять більше число на менше, і якщо лишається остача, то ділять менше число на остачу; якщо знову лишається остача, то ділять першу остачу на другу. Так продовжують ділити доти, поки в остачі не одержують нуль. Останній дільник і є НСД даних чисел.

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел

391 і 299.

Поділивши число 391 на 299, одержимо в остаче 92. Поділивши 299 на 92, одержимо в остаче 23. Поділивши 92 на 23, одержимо в остаче 0. Отже, 23 є НСД чисел 391 і 299.

Щоб знайти в такий спосіб НСД трьох і більше чисел, знаходять спочатку найбільший спільний дільник яких-небудь двох з них, потім – найбільший спільний дільник знайденого дільника і якогось третього числа і т. д.

Розглянемо ще один спосіб знаходження найбільшого спільного дільника.

ПРИКЛАД:

Розкладемо числа 210 і 294 на прості множники:

Підкреслимо всі спільні прості дільники в розкладах даних чисел:

2, 3, 7.

Числа 210 і 294 діляться на кожне з чисел 2, 3, 7 і на їх добуток:

2 × 3 × 7 = 42.

Число 42 і є найбільшим спільним дільником чисел 210 і 294:

НСД(210; 294) = 42.

Щоб знайти НСД кількох натуральних чисел, потрібно їх розкласти на прості множники та перемножити всі спільні множники. Цей добуток і буде найбільшим спільним дільником.

За цим правилом можна знаходити найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.

ПРИКЛАД:

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел:

45, 75 і 90.

Розкладемо ці числа на прості множники:

45 = 3 × 3 × 5;

75 = 3 × 5 × 5;

90 = 2 × 3 × 3 × 5;

НСД(45; 75; 90) = 3 × 5 = 15.

Якщо серед даних чисел є число, на яке діляться інші з даних чисел, то це число є найбільшим спільним дільником даних чисел.

ПРИКЛАД:

НСД(3; 6) = 3;

НСД(4; 16; 20) = 4.

Спосіб Евкліда.

Цей спосіб полягає в знаходженні НСД шляхом послідовного розподілу.

Спочатку розглянемо цей спосіб в застосуванні тільки до двох даними числах, а потім розберемося в тому, як його застосовувати до трьох і більше числах.

Якщо більше з двох даних чисел ділиться на меншу, то число, яке менше і буде їх найбільшим спільним дільником.

ПРИКЛАД:

Візьмемо два числа 27 і 9. Так як 27 ділиться на 9 і 9 ділиться на 9, значить, 9 є загальним дільником чисел 27 і 9. Цей дільник є в той же час і найбільшим, тому що 9 не може ділитися ні на яке число, більше 9. Отже:

НСД (27, 9) = 9.

В інших випадках, щоб знайти найбільший спільний дільник двох чисел використовується наступний порядок дій:

1. З двох даних чисел більше число ділять на меншу.

2. Потім, менше число ділять на залишок, отриманий від ділення більшого числа на менше.

3. Далі, перший залишок ділять на другий залишок, який вийшов від ділення меншого числа на перший залишок.

4. Другий залишок ділять на третій, який вийшов від ділення першого залишку на другий і так далі.

5. Таким чином, поділ триває до тих пір, поки в залишку не вийде нуль. Останній дільник якраз і буде найбільшим загальним дільником.

ПРИКЛАД:

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 140 і 96.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

140 : 96 = 1 (залишок 44),

96 : 44 = 2 (залишок 8),

44 : 8 = 5 (залишок 4),

8 : 4 = 2.

Останній дільник дорівнює 4 – це значить, що

НСД (140, 96) = 4.

Послідовний розподіл так само можна записувати стовпчиком:

Щоб знайти найбільший спільний дільник трьох і більше даних чисел, використовуємо наступний порядок дій:

1. Спочатку знаходимо найбільший спільний дільник будь-яких двох чисел з декількох даних.

2. Потім знаходимо НСД знайденого подільника і якогось третього даного числа.

3. Потім знаходимо НСД останнього знайденого подільника і четвертого даного числа і так далі.

ПРИКЛАД:

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел

140, 96 и 48.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

НСД чисел 140 и 96 ми вже знайшли в попередньому прикладі (це число 4). Залишилося знайти найбільший спільний дільник числа 4 і третього даного числа – 48.

48 : 4 = 12.

48 ділиться на 4 без залишку. Таким чином,

НСД (140, 96, 48) = 4.

ПРИКЛАД:

Знайти НСД чисел

391 і 299.

Два числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює одиниці,

називаються взаємно простими числами.

ПРИКЛАД:

Числа 16 і 27 є взаємно простими, бо їх найбільшим спільним дільником є 1.

Взаємно прості числа взагалі мають лише один спільний дільник – 1. Тому, якщо два числа мають спільний дільник, відмінний від 1, то вони не взаємно прости.

ПРИКЛАД:

Числа 18 і 45 не взаємно прості, бо мають спільний дільник 3.

Завдання до уроку 11

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 21 октября 2015 г.