Урок 20. Алгебраїчні дроби

четверг, 15 октября 2015 г.

Урок 20. Алгебраїчні дроби

Приватним видом раціонального виразу є дріб, чисельник і знаменник якого многочлени. Такі дроби називають дробами алгебри. Крім дій складання, віднімання та множення, містять розподіл на вираз зі змінними.

Алгебраїчна дріб та її основна властивість.

Алгебраїчне вираз називається дробовим, якщо серед зазначених у ньому дій є розподіл на буквене вираз.

Найпростішими серед дробових виразів вважається вираз виду

де А і В – многочлені.

Вони називаються алгебраїчними дробами. Многочлени А та В називаються відповідно чисельником та знаменником раціонального дробу. Чисельник і знаменник називають також членами дробу.

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:

Відомо, що
Знайдіть значення виразу
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Основна властивість алгебраїчного дробу.

Якщо чисельник і знаменник алгебраїчного дробу помножити на той самий многочлен, який тотожно не дорівнює нулю, то отримаємо дріб, тотожно рівний даній.

Цю властивість називають основною властивістю раціонального дробу та записують так:

де А, В і С – многочлени, причому многочлени В і С не рівні 0.

ПРИКЛАД:
Основна властивість дробу може бути використана для зміни знаків членів дробу.

Значення дробу не зміниться, якщо змінити знак у одного з членів дробу та перед самим дробом.

Якщо чисельник і знаменник дробу

помножити на –1, отримаємо

Таким чином, значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки у чисельника та знаменника. Якщо ж змінити знак лише у чисельника чи лише у знаменника, то й дріб змінить свій знак:

Значить:

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:
Цілий раціональний вираз не містить розподілу на буквене вираз.

Одночлен вважається приватним видом многочлена. зокрема, число 1 також можна як многочлен. Тому кожне ціле вираз алгебри можна вважати алгебраїчним дробом зі знаменником рівним 1. Кожен звичайний дріб також можна розглядати як раціональний дріб.

Цілі та дробові вирази називають раціональними виразами.

Область допустимих значень (ОДЗ) алгебраїчного дробу.

Якщо цілий вираз має сенс при будь-яких значеннях змінних, що входять до нього, так як для знаходження значення цілого виразу потрібно виконати дії, які завжди можливі, то дробовий вираз при деяких значеннях змінних може не мати сенсу.

Числові значення, які можуть набувати букви в даному виразі алгебри, не позбавляючи його сенсу, називаються допустимими значеннями для цих букв.

У раціональному дробі допустимими є значення змінних, у яких не перетворюється на нуль знаменник дробу.

ПРИКЛАД:

Вираз 10 + ¹/_а немає сенсу при а = 0. За всіх інших значеннях а це вираз має сенс.

ПРИКЛАД:

Знайдіть допустимі значення змінної в дробі:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Щоб знайти, при яких значеннях а знаменник дробу звертається в нуль, потрібно вирішити рівняння

а(а – 9) = 0.

Це рівняння має два корені: 0 і 9. Отже, допустимими значеннями змінної є всі числа, крім 0 і 9.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення дробу
при а = ²/₃, b = –1,5

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Визначити числове значення виразу при а = 1 і n = –2,5:

Однак на 0 ділити не можна, отже, при даних значеннях літер дане вираз алгебри не має числового значення. Говорять також, що з а = 1 і n = –2,5 це вираз позбавлено сенсу чи це значення неприпустимі даного висловлювання.

ВІДПОВІДЬ:

Даний вираз позбавлений сенсу при а = 1 і n = –2,5.

Завдання до уроку 20

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 15 октября 2015 г.