ВИДЕО УРОК
Сочетания.
Пусть имеется n различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из n объектов по m, будем выбирать комбинацию из m объектов всевозможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличии от размещений).
Число
всех выборов m элементов из n данных, без учёта порядка, называют числом
сочетаний из n элементов по m.
Сочетаниями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом.
Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из m элементов, в которой не важен их порядок (расположение).
Неупорядоченные
выборки называются сочетаниями из n элементов по m и обозначаются
Сочетание
из n элементов по 2.
Число
всех выборов двух элементов из n без учёта их
порядка, называется числом сочетаний из n элементов по 2.
Схема для решения комбинаторных
задач на сочетания.
Перед решением задачи на вычисление этого вида сочетаний предлагается схема способствующая правильному выявлению вида сочетания согласно условию задачи. При этом учитываются характеристические свойства каждого вида сочетаний.
ПРИМЕР:
Есть три объекта (1, 2, 3). Составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки (1, 2) и (2, 1) – это одно и тоже сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три:
(1, 2), (1, 3), (2, 3).
На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6).
Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг ?
РЕШЕНИЕ:
Порядок следования на полке 15-ти выбранных внешне одинаковых книг не имеет значения. Нужно определить общее число сочетаний на 30 элементов по 15 по формуле:
ЗАДАЧА:
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя ?
РЕШЕНИЕ:
Р2 = 2! = 2
способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать
Сочетания с повторениями.
Пусть имеются предметы n видов и из них составляется набор, содержащий m элементов. Два таких набора считаются одинаковыми тогда и только тогда, когда имеют одинаковый состав. Такие наборы называются сочетаниями с повторениями из n элементов по m. Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается
Формула количества
сочетаний с повторениями:
Перед решением задачи на вычисление этого вида сочетаний предлагается схема способствующая правильному выявлению вида сочетания согласно условию задачи. При этом учитываются характеристические свойства каждого вида сочетаний.
ЗАДАЧА:
В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков ?
РЕШЕНИЕ:
Обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов, при этом предполагается, что в продаже есть не менее 5 хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе отличаются, а сосиски в тесте, ватрушки и пончики в своих группах считаются одинаковыми.
Что может быть в выборке ? Прежде всего,
следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т. к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на
любой вкус:
5 в тесте, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 сосиски в тесте + 2 ватрушки, 1 сосиска в тесте + 2 ватрушки + 2 пончика и т. д.
Как и при обычных сочетаниях, порядок выбора и размещение
пирожков в выборке не имеет значение – просто выбрали 5 штук и всё.
Используем формулу количества сочетаний с повторениями:
ЗАДАЧА:
Сколько существует четырёхзначных пин-кодов ?
РЕШЕНИЕ:
Тут достаточно знаний правил комбинаторики:
Сочетания в теории вероятностей.
В теории вероятностей задачи на сочетания встречаются чаще всего, потому что группировка без порядка следования важнее именно для неразличимых элементов. Если какие-то элементы существенно различаются между собой, их трудно выбрать случайно, есть ориентиры для неслучайного выбора.
ЗАДАЧА:
На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берёт наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома ?
РЕШЕНИЕ:
Событие А – у читателя первых три тома. Это 1-й, 2-й и 3-й тома. Без учёта порядка, в котором он выбирал книги, а только по конечному результату, он мог взять их одним способом. Число благоприятствующих элементарных событий – 1.
Общее
число возможных элементарных событий равно числу групп из 6-ти по 3, образованных без учёта порядка
следования элементов в группе , т. е. равно числу сочетаний:
Задания к уроку 5
Другие уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий