Урок 4. Объём правильной призмы

ВИДЕОУРОК

Объём правильной призмы равен произведению площади его основания на высоту.

где  S_осн – площадь основания правильной призмы, h – высота правильной призмы.

Правильная треугольная призма.

Правильная шестиугольная призма.

ЗАДАЧА:

Найти объём правильной шестиугольной призмы, если сторона её основания равна  8 см, а высота – 9 см.

РЕШЕНИЕ:

V = S_осн × H, 
S = 6 × S_AOB.

∆ AOB – равносторонний,

S_осн = 6×16√͞͞͞͞͞3 = 96√͞͞͞͞͞3  (см²).

V = 96√͞͞͞͞͞3 × 9 = 864√͞͞͞͞͞3 (см³).

ОТВЕТ:  864√͞͞͞͞͞3  см³.

ЗАДАЧА:

Через сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  45°. Площадь полученного сечения равна  16√͞͞͞͞͞6 см². Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCA₁B₁C₁ – данная треугольная призма.

Точка  К – середина бокового ребра  СС₁. ∆ КАВ – данное сечение.

S_∆КАВ = 16√͞͞͞͞͞6 см².

Проведем  КМ ⊥ АВ. По теореме про три перпендикуляра  СМ ⊥ АВ. Поэтому  ∠ КМС – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью  КАВ  и плоскостью основания. По условию, ∠ КМС = 45°. В треугольнику

КМС (∠ С = 90°)

∠ К = ∠ М = 45°.

Поэтому  МС = КС. Треугольник  САВ  будет проекцией треугольника  КАВ, поэтому

S_∆ABC = S_∆КАВ ∙ cos ∠ KMC =

= 16√͞͞͞͞͞6 ∙ cos 45° =

= ¹/₂ (16√͞͞͞͞͞6 ∙ √͞͞͞͞͞2 ) = 16√͞͞͞͞͞3  (см²).

Поскольку треугольник  АВС – равносторонний, то

S_∆ABC = ¹/₄ AB²√͞͞͞͞͞3.

¹/₄ AB²√͞͞͞͞͞3  = 16√͞͞͞͞͞3, AB² = 64,

AB = 8 см, MB = 4 см.

Из  ∆ CМB (∠ M = 90°):

CM = МB tg 60° = 4√͞͞͞͞͞3 (см),

KC = CM = 4√͞͞͞͞͞3 см,

CC₁ = 2KC = 8√͞͞͞͞͞3 см.

V_пр. = S_осн.∙  H = S_∆АВС ∙ C₁C =

= 16√͞͞͞͞͞3 ∙ 8√͞͞͞͞͞3 = 384 (см³).

ОТВЕТ:  384 см³

ЗАДАЧА:

Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол  60°. Площадь полученного сечения равна  8√͞͞͞͞͞3 см². Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть основанием правильной призмы  ABCA₁B₁C₁  будет равносторонний треугольник  АВС.

∆ АВС₁ – данное сечение. S_∆АВС1= 8√͞͞͞͞͞3 см². Проведем  С₁М ⊥ АВ. По теореме про три перпендикуляра  CM ⊥ АВ. Поэтому  С₁МС – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью  АВС₁  и плоскостью основания. По условию, ∠ С₁МС = 60°. Треугольник  АВС  будет проекцией треугольника  АВС₁, поэтому

S_∆АВС = S_∆АВС1 ∙ cos ∠ С₁МС.

S_∆АВС = 8√͞͞͞͞͞3  ∙ cos 60° =

^= 1/₂ ∙ 8√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3  (см²).

S_∆АВС = ¹/₄ ∙ AB²√͞͞͞͞͞3 .

¹/₄ ∙ AB²√͞͞͞͞͞3 = 4√͞͞͞͞͞3,

AB² = 16, AB = 4 (см).

S_∆АВС = ¹/₂ AB ∙ MC,

4√͞͞͞͞͞3  = ¹/₂ ∙ 4 ∙ MC,

MC = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

Из  ∆ C₁CM (∠ C = 90°):

C₁C = МC tg ∠ C₁MC =

= 2√͞͞͞͞͞3  tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 ∙√͞͞͞͞͞3 = 6 (см),

V_пр. = S_осн.∙  H =

= 4√͞͞͞͞͞3 ∙ 6 = 24√͞͞͞͞͞3 (см³).

ОТВЕТ:  24√͞͞͞͞͞3  см³

ЗАДАЧА:

В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной  10√͞͞͞͞͞3. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

У квадрата все стороны равны, поэтому в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами равными  10√͞͞͞͞͞3.
Площадь равностороннего треугольника находим по следующей формуле:

V_призмы = S ∙ Н,
V_призмы = 75√͞͞͞͞͞3 ∙ 10√͞͞͞͞͞3 = 2250.
Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения объёмов
• Урок 2. Объём прямой призмы
• Урок 3. Объём наклонной призмы
• Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
• Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
• Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда 
• Урок 8. Объём куба
• Урок 9. Объём пирамиды
• Урок 10. Объём правильной пирамиды
• Урок 11. Объём усечённой пирамиды
• Урок 12. Объём цилиндра
• Урок 13. Объём конуса
• Урок 14. Объём усечённого конуса
• Урок 15. Объём шара и его частей
• Урок 16. Тела вращения
• Урок 17. Комбинации тел (2)
• Урок 18. Правильные многогранники
• Урок 19. Объёмы подобных тел