Урок 11. Неравенства с модулем

четверг, 3 октября 2019 г.

Урок 11. Неравенства с модулем

ВИДЕО УРОК

Чтобы решить неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:

На практике это делается так:

1) находят критические точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие пол знаком модуля, сохраняют знак;

3) на каждом из найденных промежутков решают неравенство без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого неравенства.

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой

|а|

означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчёта 0, а

|а – b|

означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Рассмотрим неравенство

|x| < а,

где а > 0.

Воспользуемся геометрической интерпретацией модуля числа.

Неравенство вида |x| < а определяет координаты тех и только тех точек координатной прямой, которые удалены от начала отсчёта на расстояние, меньше чем а, то есть

–а < x < а, х ∈ (–а, а).

Если а ≤ 0, то данное неравенство решений не имеет.

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства.

Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства

f(x) ˃ g(x) и

(f(x))² ˃ (g(x))²

равносильны.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулем так.

Пусть нужно решить неравенство

| f(x)| ˃ |g(x)|.

Так как при любых х из области определения выражений

f(x) и g(x)

справедливы соотношения

| f(x)| ≥ 0, |g(x)| ≥ 0,

(| f(x)|)² = (f (x))²,

(|g(x)|)² = (g(x))²,

то данное неравенство равносильно неравенству

(f(x))² ˃ (g(x))².

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|x + 1| < |x – 3|.

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

Так как обе части неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получаем равносильное неравенство:

х² + 2х + 1 < х² – 6х + 9.

Это неравенство равносильно неравенству

8х < 8,

откуда х < 1.

ОТВЕТ: х < 1

Второй способ.

Решение данного неравенства сводится к нахождению точек х числовой прямой, которые расположены ближе к точке –1, чем к точке 3.
Такими точками являются все точки, лежащие слева от точки 1 – середины отрезка [–1; 3], то есть точки из промежутка

(–∞; 1).

Третий способ.

Построим графики функций

у = |x + 1|,

у = |x – 3|.

Эти графики пересекаются в точке (1; 2). При х < 1 график функции

у = |x + 1|

лежит ниже графика функции

у = |x – 3|,

а при х ˃ 1 – выше. Поэтому множество решений данного неравенства – промежуток (–∞; 1).

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|x + 4| ≥ 1.

РЕШЕНИЕ:

Критическая точка находится решением уравнения

х + 4 = 0,

откуда

х = –4.

1) Рассмотрим промежуток х < –4. На нём исходное неравенство принимает вид

–х – 4 ≥ 1.

Решая это неравенство, найдём х ≤ –5.

Так как

х < –4 и х ≤ –5,

То решением исходного неравенства будет промежуток

х ≤ –5.

2) Рассмотрим промежуток х ˃ –4. На нём исходное неравенство имеет вид

x + 4 ≥ 1,

Откуда x ≥ –3.

Так как

х ˃ –4 и x ≥ –3,

То решением исходного неравенства будет промежуток

x ≥ –3.

3) Учитывая случаи 1) и 2), окончательно имеем

х ≤ –5 и x ≥ –3.

ОТВЕТ:

х ≤ –5 и x ≥ –3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|x – 3| < 1.

РЕШЕНИЕ:

Найдём критическую точку

х – 3 = 0, т. е. х = 3.

1) Рассмотрим промежуток х < 3. В этом случае имеем

откуда

Следовательно решением исходного неравенства является промежуток

(2; 3).

2) Рассмотрим промежуток х ≥ 3. В этом случае имеем

или

Следовательно решением исходного неравенства является промежуток

[3; 4).

3) рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток

(2; 4).

ОТВЕТ:

2 < x < 4.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|2x – 1| – |x – 2| ≥ 4.

РЕШЕНИЕ:

Критическими точками являются

х = ¹/₂ и х = 2.

1) Рассмотрим промежуток х < ¹/₂. На нём исходное неравенство имеет вид

–2х + 1 – (–х + 2) ≥ 4,

откуда х ≤ –5. Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток х ≤ –5.

2) Рассмотрим промежуток

¹/₂ ≤ х < 2.

на нём исходное неравенство имеет вид

(2х – 1) – (–х + 2) ≥ 4,

откуда х ≥ ⁷/₃. Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не имеет решения.

3) Рассмотрим промежуток х ˃ 2. На нём исходное неравенство имеет вид

(2х – 1) – (х – 2) ≥ 4,

откуда х ≥ 3.

4) Объединение полученных решений

х ≤ –5 и х ≥ 3

будет решением исходного неравенства.

ОТВЕТ:

–∞ < х ≤ –5 и 3 ≤ х < +∞.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|4x – 5| > 7.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

откуда

ОТВЕТ:

(–∞; –0,5) ∪ (3; +∞)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|x – 1| < 2.

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

|x – 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой

устанавливаем, что множество решений неравенства будет интервал (–1; 3).

Второй способ.

Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство

(х – 1)² < 4.

Решая последнее неравенство, получим:

х² – 2х – 3 < 0,

откуда находим, что

–1 < х < 3.

Третий способ.

По определению модуля числа,
поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

Из первой системы получаем

1 ≤ х < 3.

Из второй системы

–1 < х < 1.

Объединив эти решения, получим промежуток

(–1; 3).

ОТВЕТ: (–1; 3)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|2x + 5| ≥ 7.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство следующим образом:

|x + 2,5| ≥ 3,5.

Укажем на координатной прямой все такие точки х, которые удалены от точки –2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. С помощью координатной прямой находим
решения:

х ≤ –6; х ≥ 1.

ОТВЕТ: х ≤ –6; х ≥ 1

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х² – 6 ˃ |x|.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображены графики чётных функций

у = х² – 6

у = |x|.

Решив уравнение

х² – 6 = x,

найдём его положительный корень х = 3.

График функции

у = х² – 6

лежит выше графика функции

у = |x|

вне отрезка [–3; 3]. Поэтому множество решений данного неравенства – совокупность промежутков

х < –3, и х ˃ 3.

ОТВЕТ: х < –3, х ˃ 3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|х² – 5x + 2| ˃ 2.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

х² – 5x + 2 ˃ 2,

х² – 5x + 2 < –2.

Множество решений первого неравенства, равносильного неравенству

х(х – 5) ˃ 0,

представляет собой объединение промежутков

х < 0 и х ˃ 5.

Множество решений второго неравенства, равносильного неравенству

(х – 1)(х – 4) < 0,

есть интервал

(1; 4)

ОТВЕТ:

х < 0, 1 < х < 4, х ˃ 5

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

|х² + x – 6| ˃ 2 – х.

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

Число х = 2 не является решением данного неравенства, а при х ˃ 2 неравенство справедливо. Его левая часть неотрицательна при всех х ∈ R, а правая отрицательна.