Урок 1. Відношення величин

пятница, 5 сентября 2014 г.

Урок 1. Відношення величин

ВІДЕОУРОК

Ставлення величин доводиться шукати під час вирішення безлічі найрізноманітніших завдань. Це спосіб зіставлення однорідних величин, який полягає в тому, що при порівнянні величин намагаються відповісти на запитання у скільки разів одна з них більша за іншу.

Відношення чисел.

Як зазначалося раніше, частка від ділення одного числа на інше називається також їх відношенням. Отже, коли кажуть <<частка>>, мають на увазі одне число, одержане в результаті ділення двох даних чисел. Коли ж кажуть <<відношення>>, мають на увазі пару чисел, з’єднаних знаком ділення.

ПРИКЛАД:

Якщо поділити 10 на 2, одержимо:

10 : 2 = 5.

У даному випадку кажуть, що частка від ділення 10 на 2 дорівнює 5, кажуть також, що відношення 10 до 2 дорівнює 5. Але саме відношення даних чисел записують у вигляді 10 : 2, або ¹⁰/₂. Зрозуміло, що числа 10 : 2 і 5 однакові. Тому й кажуть, що відношення – те саме, що й частка.

Відношенням називається число, що показує, у скільки разів одна величина більша від іншої, або яку частину одна величина становить від іншої.

Для позначення відношення використовують дробову риску або знак ділення (:). У загальному вигляді відношення записують так:

Числа a і b називаються членами відношення. Перший член a називається попереднім, а другий член b – наступним.

ПРИКЛАД:

У відношенні

4 : 5,

число 4 є попереднім членом, 5 – наступним.

Оскільки відношення двох чисел одержують за допомогою ділення, то для нього справедливі всі властивості частки.

Основна властивість відношення.

Відношення не зміниться, якщо кожний член відношення помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля.

Члени відношення можуть бути будь – якими числами, тільки наступний не може дорівнювати нулеві. Тому можливі й такі відношення:

Щоб одержати відношення двох іменованих чисел, треба дати ці числа в однакових одиницях виміру.

ПРИКЛАД:

Знайти відношення 73 см до 2,92 м:

Скорочення членів відношення і заміна відношення дробових чисел відношення цілих чисел.

Використовуючи основну властивість відношення, виконуємо два перетворення:

– скорочення членів відношення;

– заміну відношення дробових чисел відношенням цілих чисел.

Як це виконується, видно з наступних прикладів.

ПРИКЛАД:

Скоротити члени відношення:

48 : 32 = 3 : 2.

ПРИКЛАД:

Замінити відношення дробових чисел відношенням цілих чисел:

1¹/₂ : ²/₃ = ³/₂ : ²/₃

= ⁹/₆ : ⁴/₆ = 9 : 4.

При порівнянні величин ми можемо дістати два таких відношення, в яких попередній член одного буде наступним членом другого и навпаки. Такі два відношення називаються оберненими. Добуток обернених відношень дорівнює одиниці.

Відношення величин.

Відношення однорідних величин дорівнює відношенню чисел, що виходять при вимірі цих величин однією і тією самою одиницею виміру; воно залежить від вибору одиниці виміру.

Іноді говорять про відношення різнорідних величин. Наприклад, говорять про ставлення шляху до часу, маси до обсягу тощо ставлення різнорідних величин є величина. Так, відношення шляху до часу є швидкість, відношення маси до обсягу – щільність і так далі значення відношення різнорідних величин залежить від вибору одиниці виміру.

ПРИКЛАД:

Якщо шлях дорівнює 20 м, а час, витрачений з його проходження, дорівнює 5 сек, то відношення шляху до часу дорівнює 4 м/сек. Воно виражає швидкість руху м/сек. Якщо той же шлях виміряти в кілометрах, а час – у годинах, то відношення шляху до часу буде рівним:

0,02 : ¹/₇₂₀ = 14,4 (км/час).

Воно виражає ту ж швидкість у км/годину:

4 м/сек = 14,4 км/час.

ЗАДАЧА:

Знайдіть відношення величин:

1,2 м і 40 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перш ніж шукати відносини величин, наведемо всі члени до однієї й тієї самої одиниці виміру. Переведемо метри на сантиметри. В 1 м 100 см. Тому щоб перевести 1,2 м в сантиметри, помножимо 100.

1,2 ∙ 100 = 120 см.

Тепер знайдемо відношення величин 120 і 40:

¹²⁰/₄₀ = ³/₁.

Отже, 1,2 м відноситься до 40 см, як 3 відноситься до 1.

ЗАДАЧА:

Знайдіть відношення величин:

2 кг і 500 г.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перш ніж шукати відносини величин, наведемо всі члени до однієї й тієї самої одиниці виміру. Переведемо кілограми у грами. У 1 кг 1000 г. Тому, щоб перевести 2 кілограми на грами, помножимо 2 на 1000.

2 ∙ 1000 = 2000 г.

Тепер знайдемо відношення величин 2000 і 500:

²⁰⁰⁰/₅₀₀ = ⁴/₁.

Отже, 2 кг відноситься до 500 г, як 4 відноситься до 1.

ЗАДАЧА:

Знайдіть відношення величин:

50 см і 2 дм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перш ніж шукати відносини величин, наведемо всі члени до однієї й тієї самої одиниці виміру. Переведемо дециметри до сантиметрів. У 1 дм 10 см. Тому, щоб перевести 4 дециметри на сантиметри, помножимо 4 на 10.

4 ∙ 10 = 40 см.

Тепер знайдемо відношення величин 50 і 40:

⁵⁰/₄₀ = ⁵/₄.

Отже, 50 см відносяться до 4 дм, як 5 відноситься до 4.

ЗАДАЧА:

Кількість шоколадних цукерок, які є у пакунку, відносяться до кількості карамельок як 3 : 5. Укажіть число, яким може бути виражена кількість шоколадних цукерок і карамельок.

25; 32; 30; 36.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай 3х – кількість шоколадних цукерок, тоді 5х кг – кількість карамельок.

3х + 5х = 8х.

Отже, кількість цукерок має бути кратною 8, тобто 32 цукерки.

ЗАДАЧА:

На 200 руб можна придбати 4 кг яблук. Скільки кілограмів картоплі можна купити на ці гроші, якщо картопля в 5 разів дешевша за яблука ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 спосіб вирішення.

Якщо 4 кг яблук коштують 200 руб, можна дізнатися, скільки коштує 1 кг яблук. Для цього всю вартість (200 руб) розділимо на кількість кілограмів (4 кг).

200 : 4 = 50 (руб).

50 карбованців коштує 1 кілограм яблук. Але так як картопля дешевша за яблука в 5 разів, то ціна 1 кг картоплі буде:

50 руб : 5 = 10 руб.

Тоді на 200 руб можна купити картоплі

200 : 10 = 20 (кг).

ВІДПОВІДЬ:

на 200 руб можна купити 20 кг картоплі.

2 спосіб вирішення.

Якщо картопля дешевша за яблука в 5 разів, а яблук можна купити на 200 рублів 4 кг, значить, картоплі можна купити в 5 разів більше:

4 кг ∙ 5 = 20 кг.

ВІДПОВІДЬ:

на 200 руб можна купити 20 кг картоплі.

ЗАДАЧА:

Маса скриньки з огірками складає 36 кг. Маса порожньої скриньки дорівнює 2 кг 400 г. Знайдіть відношення огірків до маси скриньки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо ящик з огірками важить 36 кг, а порожній ящик важить 2 кг 400 г, можна знайти вагу огірків:

36 кг – 2 кг 400 г = 33 кг 600 г.

Перекладемо значення, виражені в кілограмах та грамах у кілограми:

33 кг 600 г = 33,6 кг,

2 кг 400 г = 2,4 кг.

Тепер знайдемо відношення маси огірків до маси порожньої скриньки:

33,6 : 2,4 = 14.

ЗАДАЧА:

До шкільної бібліотеки привезли нові підручники для 7-9 класів, 125 штук для кожного класу. Усі книжки мають однаковий розмір. У книжковій шафі 6 полиць. На кожній полиці міститься 20 підручників. Скільки шаф можна повністю наповнити новими підручниками.

РОЗВ'ЯЗАННЯ;

Оскільки класів всього 3 (7, 8, 9 класи), і кожному класу привезли по 125 підручників, можна дізнатися, скільки всього привезли підручників до бібліотеки.

125 ∙ 3 = 375 штук

375 підручників привезли до бібліотеки, отже, 375 підручників потрібно розмістити у книжковій шафі.

Так як у книжковій шафі 6 полиць і на кожну полицю міститься 20 підручників, то можна дізнатися, скільки підручників міститься в книжковій шафі.

20 підручників ∙ 6 = 120 підручників.

Так як ми визначили кількість підручників, які потрібно розмістити в книжковій шафі (375 підручників), і відомо, скільки підручників міститься в одну шафу, то можна дізнатися, скільки шаф потрібно для розміщення цих підручників. Для цього кількість усіх підручників розділимо на кількість підручників, що міститься в одну шафу.

375 : 120 = 3 (залишок 15).

ЗАДАЧА:

Туристична путівка коштує 45000 рублів. У вартість путівки входить проїзд та проживання. Проїзд коштує 9000 рублів. Яку частину від вартості путівки становить проживання ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо путівка коштує 45000 рублів, а проїзд 9000 рублів, то від вартості путівки потрібно забрати вартість проживання. Таким чином ми дізнаємося про вартість проживання:

45000 – 9000 = 36000 руб.

Щоб визначити, яку частину від вартості путівки становить проживання, знайдемо відношення вартості проживання до загальної вартості путівки.
ВІДПОВІДЬ:

Проживання складає 0,8 частини від загальної вартості путівки

Завдання до уроку 1

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 5 сентября 2014 г.