Урок 26. Округлення чисел

пятница, 5 сентября 2014 г.

Урок 26. Округлення чисел

ВИДЕО УРОК

Округлення натуральних чисел.

Одним з джерел отримання наближених чисел є округлення. Округлюють як наближені, так і точні числа.

Числа округлюють, коли повна точність не потрібна або неможлива.

ПРИКЛАД:

На день перепису населення міста становило 234629 чоловік. Однак кількість людей в місті постійно змінюється (приїзд, від’їзд, народження, смерть). Отже, назване число дуже швидко стане неправильним. У ньому напевне зміняться цифри розрядів одиниць і десятків, а можливо, і сотень. Тому можна сказати, що в місті проживає приблизно 234000 чоловік.

В приклади ми замінили нулями цифри одиниць, десятків і сотень. У таких випадках кажуть, що ми округлили число до тисяч.

Округлити число до певної цифри (знака), значить замінити його близьким за значенням числом з нулями в кінці.

Округленням даного числа до деякого розряду називають заміну його новим числом, яке утворюється з даного шляхом відкидання всіх його цифр, записаних правіше твід цифри цього розряду, або шляхом заміни їх нулями.

Натуральні числа округлюють до десятків, сотень, тисяч і так далі.

Залежно від того, до якого розряду треба округлити число, ми замінюємо нулями цифру в розрядах одиниць, десятків і так далі.

Якщо число округляють до десятків, то нулём замінюють цифру одиниць.

Якщо число округлюють до сотень, то нулями замінюють цифри одиниць і десятків і т. д.

Число, отримане при округленні, називають наближеним значенням даного числа.

Записують результат округлення після спеціального знака << ≈ >>. Цей знак читається як << приблизно однаково>>.

При округленні натурального числа до будь-якого розряду користуються правилами округлення.

– спочатку підкреслюють цифру розряду, до якого треба округлити число;

– потім відділяють всі цифри, що стоять праворуч від цього розряду вертикальною лінією;

– при округленні числа до певного розряду всі цифри, що йдуть за ним, замінюють нулями.

При округленні числа до вказаного розряду ми зацікавлені в тому, щоб округлене число було до первісного числа якомога ближче. Для цього потрібно користуватися таким правилом:

– коли перша наступна за цим розрядом цифра 5, 6, 7, 8 або 9, то останню цифру, яка залишилася, збільшують на одиницю (округлення з надлишком);

– коли перша наступна за цим розрядом цифра 0, 1, 2, 3 або 4, то останню цифру, яка залишилася, не змінюють (округлення з недостачею).

ПРИКЛАД:

Округлим 57861 до тисячних.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виконаємо два пункти з правил округлення, тобто спочатку підкреслимо цифру розряду, до якого треба округлити число, потім відділимо всі цифри, що стоять праворуч від цього розряду вертикальної рисою.

Після підкресленою цифри варто цифра 8, значить до цифри розряду тисяч (у нас це 7) додамо 1, а всі цифри, відокремлені вертикальною лінією замінимо нулями.

ВІДПОВІДЬ: 58 000

ПРИКЛАД:

Округлимо 756 485 до сотень.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ: 756 500

ПРИКЛАД:

Округлимо 364 до десятків.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

364 ≈ 360 – в розряді одиниць коштує 4, тому ми залишаємо 6 в розряді десятків без змін.

На числовій осі число 364 укладено між двома << круглими >> числами 360 і 370. Ці два числа називають наближеними значеннями числа 364 з точністю до десятків.

Число 360 – наближене значення з недоліком, а число 370 – наближене значення з надлишком.

У нашому прикладі, округливши 364 до десятків, ми отримали 360 – наближене значення з недоліком.

ВІДПОВІДЬ: 360

ПРИКЛАД:

Округлимо число 7628 до сотень.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для цього цифри десятків і одиниць замінимо нулями. Цифру в розряді сотень залишимо без змін, оскільки наступна за нею цифра 2. Дістанемо 7600.

ПРИКЛАД:

Округлимо число 48751 до тисяч.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для цього цифри сотень, десятків і одиниць замінимо нулями. Цифру в розряді тисяч збільшимо на 1, оскільки наступна за нею цифра 7. Дістанемо 49000.

ПРИКЛАД:

9675 ≈ 9700.

Читаємо: 9675 наближено дорівнює 9700.

ПРИКЛАД:

Округлимо число 8634 до сотень. Для цього цифри десятків і одиниць замінимо нулями. Цифру в розряді сотень залишимо без змін, оскільки наступна за нею цифра 3. Дістанемо 8600.

ПРИКЛАД:

Округлимо число 57842 до тисяч. Для цього цифри сотень, десятків і одиниць замінимо нулями. Цифру в розряді тисяч збільшимо на 1, оскільки наступна за нею цифра 8. Дістанемо 58000.

ПРИКЛАД:

8769 ≈ 8800 (читаємо: 8769 наближено дорівнює 8800).

ПРИКЛАД:

Округлить число 863,58 до десятих:

863,58 ≈ 860.

Округлені результати часто записують без нулів, додаючи скорочення << тис. >> (тисяча), << млн. >> (мільйон) і << млрд. >> (мільярд).

ПРИКЛАД:

8 659 000 = 8 659 тис.

3 000 000 = 3 млн.

У тих випадках, коли ми хочемо швидко оцінити ситуацію, прийняти правильне рішення, можуть бути корисними знання про округлення чисел.

Округлення чисел застосовують для наближеної перевірки обчислень.

ПРИКЛАД:

Перемножимо 794 на 52.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перед обчисленням зробимо прикидку, округливши множники до найвищого розряду. Дістанемо:

794 ∙ 52 ≈ 800 ∙ 50 ≈ 40 000.

Отже, точне значення добутку має бути близьким до 40 000.

Справді,

794 ∙ 52 = 41 228.

ВІДПОВІДЬ: 41 228

ПРИКЛАД:

Розглянемо добуток 682 ∙ 51.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перед обчисленням зробимо прикидку, округливши множники до найвищого розряду. Дістанемо:

682 ∙ 51 ≈ 700 ∙ 50 = 35000.

Отже, точне значення добутку має бути близьким до 35000.

Справді,

682 ∙ 51 = 34782.

Аналогічно можна виконати примірку округленням і при діленні чисел.

ЗАДАЧА:

До пункту прибуття автомобілю залишилося проїхати 283 км. Водій знає, що витрати бензину становлять 9 л на 100 км шляху, а об’єм паливного бака дорівнює 60 л. Треба бістро визначити, чи вистачить бензину до пункту прибуття чи ні ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Лише глянувши на прилад, який показує рівень палива в баку,

Водій переконався, що бензину вистачить. Як йому вдалося так швидко провести розрахунки ? Водій зробив так: округлив витрати бензину до 10 л на 100 км шляху, відстань, що залишалася, – до 300 км, а потім виконав дії:

(300 : 100) ∙ 10 = 30.

Отриманий результат 30 л порівняв з покажчиком рівня палива в баку.

Оскільки бак був наповнений більше ніж наполовину, а половина баку якраз і становить 30 л, то водій зробив висновок, що палива вистачить.

Більш точний результат можна було отримати, знайшовши значення виразу

(283 : 100) ∙ 9.

Проте водій так робити не став вин прикинув значення цього числового виразу.

Зверніть увагу, що водій округляв усі числа в <<гіршу>> сторону – узяв більші витрати палива, ніж насправді, і більшу відстань, ніж потрібно проїхати. Якщо палива вистачить за <<погіршених>> умов, то його вистачить і насправді. А ось округляти в сторону <<покращання>> небезпечно. Така прикидка може підвести водія.

Подібні прикидки ви можете робити, наприклад, коли визначаєте, чи вистачить грошей на покупку, яка складається з багатьох товарів. Плануючи свій день, ви прикидаєте час на виконання певного виду робіт.

Прикидку варто застосувати тоді, коли життєва ситуація дозволяє замінити трудомісткі обчислення простими розрахунками.

Округлення десяткових дробів.

На практиці часто виникає потреба округлити десяткові дроби.

ПРИКЛАД:

Нехай ширина земельної ділянки прямокутної форми дорівнює 17 м, а довжина – 36 м. Тоді її площа дорівнює 612 м², або 6,12 сотки. Але в повсякденному житті кажуть, що площа цієї ділянки приблизно дорівнює 6 соткам.

У таких випадках число 6 називають наближеним значенням числа 6,12 і кажуть, що число 6,12 округлили до числа 6.

Записують

6,12 ≈ 6

(читають: <<6,12 наближено дорівнює 6>>).

ПРИКЛАД:

Земельна ділянка прямокутної форми, довжина якої дорівнює 29 м, а ширина – 24 м, має площу 696 м², або 6,96 сотки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На практиці число 6,96 округляють и кажуть, що площа ділянки наближено дорівнює 7 соткам, тобто

6,96 ≈ 7.

Чому ж число 7, а не 6, вважають наближеним значенням числа 6,96 ? Так домовились тому, що число 7 – найближче до 6,96 натуральне число.

Отже , при заміні числа 6,96 числом 7 помилка є меншою, ніж при заміні числа 6,96 числом 6.

Скориставшись рисунком,

можна записати:

6,12 ≈ 6,

6,2 ≈ 6,

6,391 ≈ 6,

6,41 ≈ 6,

6,6 ≈ 7,

6,703 ≈ 7,

6,8 ≈ 7.

Ми навели приклади округлення десяткових дробів до одиниць.

А як округлити до одиниць число 6,5, яке однаково віддалене від чисел 6 і 7 ? У таких випадках домовились округляти до більшого з двох чисел. Таким чином, вважають, що

6,5 ≈ 7.

Десяткові дроби можна округлювати не тільки до одиниць, а й до десятих, сотих, тисячних і так далі.

Взагалі, при округленні десяткового дробу до розряду одиниць, десятих, сотих і так далі роблять так:

– відкидають усі цифри, що стоять за цим розрядом справа;

– останню із цифр, що залишилася, не змінюють, якщо перша з відкинутих цифр 0, 1, 2, 3 або 4;

– останню із цифр, що залишилася, збільшують на 1, якщо перша з цифр, яку відкинули, 5, 6, 7, 8 або 9.

ПРИКЛАД:

Округлить:

– до десятих 12,34;

12,34 ≈ 12,3;

– до сотих 34,562;

34,562 ≈ 34,56;

– до цілих 27,4;

27,4 ≈ 27;

– до сотих 3,2465;

3,2465 ≈ 3,25;

– до тисячних 3,14159;

3,14159 ≈ 3,142;

– до десятитисячних 3,141592;

3,141592 ≈ 3,1416.

ПРИКЛАД:

Дріб 6,857 округлимо його до сотих. Відкинемо в ньому цифру 7, що стоїть після розряду сотих. Дістанемо 6,85. Збільшимо останню цифру числа 6,85 на одиницю. Дістанемо 6,86. Дане число 6,857 міститься між числами 6,85 і 6,86. Оскільки число 6,857 ближче до числа 6,86, ніж до числа 6,85, то результатом округлення даного числа до сотих вважають число 6,86. Записують 6,857 ≈ 6,86. Якщо число 6,857 округлити до десятих, то в результаті дістанемо 6,9. Це записують так: 6,857 ≈ 6,9.

ПРИКЛАД:

Округлити дріб 4,738 до сотих.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відкинемо в цій дробу цифру 8, що стоїть після розряду сотих. Отримаємо 4,73. Збільшимо останню цифру числа 4,73 на одиницю. Отримаємо 4,74. Дане число 4,738 укладено між числами 4,73 і 4,74. Так як число 4,738 ближче до числа 4,74, ніж до числа 4,73, то результатом округлення даного числа до сотих вважають число 4,74. Це записують так:

4,738 ≈ 4,74.

Якщо число 4,738 округлити до десятих, то в результаті отримаємо 4,7. Це записують так:

4,738 ≈ 4,7.

Якщо при округленні десяткового дробу остання цифра, що залишилася у дробовій частині, буде 0, то відкидати його не можна (як ми це робили з точними числами). У цьому випадку число 0 у кінці дробової частини показує, до якого розряду округлене число.

ПРИКЛАД:

Округлить:

– до десятих 31,967;

31,967 ≈ 32,0;

– до сотих 0,796;

0,796 ≈ 0,80;

– до десятих 3,027;

3,027 ≈ 3,0;

– до тисячних 13,5203;

13,5203 ≈ 13,520.

Якщо десятковий дріб округлюють до розряду, вищого за одиницю, то дробову частину відкидають, а цілу частину округлюють за правилом округлення натуральних чисел.

ПРИКЛАД:

Округлити дріб 964,58 до десятих:

964,58 ≈ 960.

ПРИКЛАД:

Округлити дріб 27,874 до трьох значущих цифр.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Округляючи число 27,874 до трьох значущих цифр, пишемо 27,9. Третя цифра посилена до 9, так як перша відкидається цифра 7 більше, ніж 5. Число 27,9 ближче до даного числа, ніж не посилене округлене число 27,8.

ВІДПОВІДЬ: 27,9

ПРИКЛАД:

Округлити дріб 36,251 до першого десяткового знака.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Округляючи число 36,251 до першого десяткового знака, пишемо 36,3. Цифра десятих 2 посилена до 3, так як перша відкидається цифра дорівнює 5, а за нею стоїть варта цифра 1. Число 36,3 ближче до даного числа (хоча і незначно), ніж не посилене число 36,2.

ВІДПОВІДЬ: 36,3

ПРИКЛАД:

Округлити дріб 27,48 до одиниць.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Округляючи число 27,48 до одиниць, пишемо 27. Це число ближче до даного числа, ніж число 28.

ВІДПОВІДЬ: 27

Завдання до уроку 26

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 5 сентября 2014 г.