Урок 30. Перетин прямої з колом

Розглянемо питання про перетин прямої з колом. Нехай R – радіус кола і d – відстань від центра кола до прямої. Візьмемо центр кола за початок координат, а пряму, перпендикулярну до даної, – за вісь х. тоді рівнянням кола буде

х² + у² = R²,

а рівнянням прямої

х = d.

Пряма і коло перетинаються, якщо система двох рівнянь

х² + у² = R²,

х = d

має розв’язок.

І навпаки, усякий розв’язок цієї системи дає координати х, у точки перетину прямої з колом. Розв’язавши нашу систему, дістанемо:

З виразу для у бачимо, що система має два розв’язки, тобто:

– коло і пряма перетинаються у двох точках, якщо
R> d.

Система має один розв’язок, тобто:

– пряма і коло дотикаються, якщо
R= d.

Система не має розв’язків, тобто:

– пряма і коло не перетинаються, якщо
R< d.

ПРИКЛАД:

Знайдіть точки перетину кола

х² + у² = 1

з прямою

у = 2х + 1.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки точки перетину лежать на колі і прямій, то їх координати задовольняють систему рівнянь:

Розв’яжемо цю систему. Підставимо у з другого рівняння в перше. Дістанемо рівняння для х:

5х² + 4х = 0.

Рівняння має два корені:

х₁ = 0, х₂ = –0,8.

Це абсциси точок перетину. Ординати цих точок дістанемо з рівняння прямої, підставивши в нього х₁ і х₂ матимемо:

у₁ = 1, у₂ = –0,6.

Отже, точки перетину прямої і кола:

(0; 1), (–0,8; –0,6)

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину кола

х² + у² = 20

і прямої

у = х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 4, х₂ = –2.

у₁ = 2, у₂ = –4.

ОТВЕТ: (4; 2), (–2; –4).

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х² + у² = 25,

у = 2х – 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 4, х₂ = 0.

у₁ = 3, у₂ = –5.

ВІДПОВІДЬ: (4; 3), (0; –5).

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину кола

х² + у² = 10

і прямої

у = х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 3, х₂ = –1.

у₁ = 1, у₂ = –3.

ВІДПОВІДЬ: (3; 1), (–1; –3).

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х² + у² = 9,

х = у – 3.

Накресліть графіки даних рівнянь і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² + у² = 9 – рівняння кола з центром О(0; 0) радіуса 3,

х = у – 3 – рівняння прямої.

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 0, х₂ = –3.

у₁ = 3, у₂ = 0.

ВІДПОВІДЬ: (0; 3), (–3; 0).

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х² + у² = 4,

у = 2 – х.

Накресліть графіки даних рівнянь і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² + у² = 4 – рівняння кола,

у = 2 – х – рівняння прямої.

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 0, х₂ = 2.

у₁ = 2, у₂ = 0.

ВІДПОВІДЬ: (0; 2), (2; 0).

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через центри кіл

(х – 1)² + (у – 6)² = 3,

(х + 1)² + у² = 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

О₁(1; 6), О₂(–1; 0), у = kх + b.

b = 3, k = 3,

y = 3x + 3.

Завдання до уроку 30

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 9 ноября 2016 г.