Урок 3. Похила призма

воскресенье, 17 декабря 2017 г.

Урок 3. Похила призма

ВІДЕОУРОК

Призма називається похилою, якщо її бічні ребра не перпендикулярні до площини основи.

Якщо в похилій призмі бічне ребро утворює однакові кути із сторонами основи, які виходять з його одного кінця, то проекція ребра на площину основи є бісектрисою відповідного кута основи.

Якщо в похилій призмі дві суміжні бічні грані утворюють однакові двогранні кути з основою, то проекція на основу бічного ребра, яке належить лінії перетину двох граней вказаних двогранних кутів, є бісектрисою кута основи.

Поверхня похилої призми.

Бічною поверхнею похилої призми називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею похилої призми називається сума її бічної поверхні і площ основ.

S_п = S_б + 2S_осн.

Бічна поверхня похилої призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро.

S_б = P_пер × AA₁,

де P_пер – периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра.

ЗАДАЧА:

У похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхню призми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM). Площина проведеного перерізу розбиває призму на дві частини.

Застосуємо до однієї з них паралельне перенесення, яке суміщає основи призми. При цьому дістанемо пряму призму, основою якої є переріз даної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й дана. Таким чином, бічна поверхня даної призми дорівнює рl.

Якщо в похилій призми бічне ребро утворює однакові кути із сторонами основи, які виходять з його одного кінця, то проекція ребра на площину основи є бісектрисою відповідного кута основи.

ЗАДАЧА:

У похилій трикутній призмі бічні ребра мають по 8 см; сторони перпендикулярного перерізу відносяться як 9 : 10 : 17, а його площа дорівнює 144 см . Визначити бічну поверхню цієї призми.

Нехай дано призму АС₁;

АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = 8 см,

А₂В₂С₂ – перпендикулярний переріз призми, причому

А₂В₂ : В₂С₂ : С₂ А₂ = 9 : 10 : 17 і

Треба визначити бічну поверхню призми:

S_бічн = (А₂В₂ + В₂С₂ + С₂ А₂) × АА₁.

За умовою задачі

АА₁ = 8 см, а

А₂В₂ : В₂С₂ : С₂А₂
= 9 : 10 : 17.

Позначимо:

А₂В₂ = 9х,
В₂С₂ = 10х,
С₂ А₂ = 17х.

Тоді за формулою Герона площа перпендикулярного перерізу буде дорівнювати:

а за умовою вона дорівнює 144 см², тобто

36х² = 144, звідки х = 2 см.

В такому випадку

А₂В₂ + В₂С₂ + С₂А₂ = 36х = 72 см,

тобто

S_бічн = 72 × 8 см² = 576 см².

Завдання до уроку 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 17 декабря 2017 г.