Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)

ВИДЕОУРОК

Четырёхугольник, все вершины которого касаются окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность называют описанной вокруг четырёхугольника.

Вокруг четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна  180°.

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна  180°, то около него можно описать окружность.

Четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность называют вписанной в этот четырёхугольник.

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

AB = a, BC = b, 
CD = c, DA = d. 

a + c = b + d                

Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна сумме двух других его сторон, то такой четырёхугольник можно описать вокруг окружности.

Не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность и не вокруг каждого четырёхугольника можно описать окружность.

ЗАДАЧА:

Найдите угол  АDС  четырёхугольника  ABCD, вписанного в окружность, если

∠ АСD = 32°,

∠ СВD = 56°.

РЕШЕНИЕ:

∠ 1 = ∠ СВD = 56° 

(опираются на одну дугу  DС). Из  ∆ АСD:

56° + 32° + ∠ АDС = 180°,

∠ АDС = 180° – 88° = 92°.

ЗАДАЧА:

Вокруг окружности описан четырёхугольник  АВСD, у которого

АВ = 14 см,

ВС = 16 см,

АD = 18 см.

Найдите длину стороны  СD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

AB + CD = AD + ВC,

CD = AD + ВC – AВ =

=18 + 16 – 14 = 20 (см).

ЗАДАЧА:

Четырёхугольник  АВСD  вписан в окружность. Диагональ  АС  данного четырёхугольника является диаметром окружности. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, который лежит против стороны  AD, если 

∠ ВАС = 23°,

∠ DАС = 52°.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCD – данный четырёхугольник, вписанный в окружность, АС – диаметр окружности. Поэтому,

∠ B =∠ D = 90°.

Пусть  К – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, тогда искомый угол – АКD. Углы  ВАС  и  ВDС  опираются на одну и ту же дугу и лежат с одной стороны от хорды  ВС. Поэтому,

∠ BDC =∠ DAC = 23°.

Поскольку  ∠ D = 90°, то

∠ ADK = 90° – ∠ BDC =

= 90° – 23° = 67°.

В треугольнику AKD

∠ AKD = 180° – (∠ KAD + ∠ ADK)

= 180° – (52° + 67°) = 61°.

ОТВЕТ:  61°

ЗАДАЧА:

Центр окружности, описанной вокруг четырёхугольника  АВСD, принадлежит его стороне  СD. Найдите углы данного четырёхугольника, если

∠ АВD = 34°, ∠ ВАС = 41°.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

∠ ВDС = ∠ ВАС = 41°

как вписанные углы, которые опираются на одну дугу.

Из прямоугольного треугольника  DВС (∠ В = 90°):

∠ С = 90° – 41° = 49°.

Аналогично

∠ АСD = ∠ АВD = 34°,

∠ D = 90° – 34° = 56°,

∠ А = ∠ DАС + ∠ САВ =

= 90° + 41° = 131°,

∠ В = ∠ АВD + ∠ DВС =

= 34° + 90° = 124°.

ОТВЕТ:

56°, 49°, 131°, 124°.

ЗАДАЧА:

Диагональ  ВD  четырёхугольника  АВСD  является диаметром его описанной окружности, М – точка пересечения его диагоналей,

∠ АВD = 32°, ∠ СВD = 64°.

Найдите угол  ВМС.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

∠ А = 90°,

∠ 1= 90°– 32°= 58°,

∠ 2 = ∠ 1 = 58°,

∠ 3 = 180°– 64° – ∠ 2 =

= 180°– 64° – 58° = 58°

Прямоугольник и окружность.

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной вокруг прямоугольника, будет точка пересечения его диагоналей.

ЗАДАЧА:

В окружность вписан прямоугольник со сторонами  32  и  24. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Диагональ  Д  этого прямоугольника является диаметром окружности, тогда, по теореме Пифагора:

Радиус равен  40 : 2 = 20.

ОТВЕТ:  20

Квадрат и окружность.

В любой квадрат можно вписать окружность и вокруг любого квадрата можно описать окружность.

Центром вписанной и описанной окружности будет точка пересечения диагоналей квадрата.

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности.

Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности.

ЗАДАЧА:

Найдите радиус окружности, описанной вокруг квадрата со стороной  8√͞͞͞͞͞2 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Воспользуемся формулой:

ЗАДАЧА:

Найдите длину окружности, вписанной в квадрат со стороною  10 см ?

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

r = ¹/₂ OE = ¹/₂ AB =

= ¹/₂ ∙ 10 = 5 (см),

l = 2πr = 2π ∙ 5 = 10π (см).

ЗАДАЧА:

Диагональ квадрата равна   6√͞͞͞͞͞2 см. Найдите радиус вписанной в этот квадрат окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Рассмотрим треугольник  ОЕС. Он прямоугольный и равнобедренный. ОЕ – радиус вписанной окружности. Обозначим его через  х  и воспользуемся теоремой Пифагора:

х² + х² = (6√͞͞͞͞͞2 : 2)²,

2х² = (3√͞͞͞͞͞2 )²,

х² = 18 : 2 = 9,

х = 3 (см).

Задания к уроку 28

• Задание 1 (четырёхугольник)
• Задание 2 (прямоугольник)
• Задание 3 (квадрат)

Другие уроки:

• Урок 1. Точка и прямая
• Урок 2. Угол
• Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
• Урок 4. Окружность
• Урок 5. Угол и окружность
• Урок 6. Треугольник (1)
• Урок 7. Треугольник (2)
• Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)
• Урок 9. Прямоугольный треугольник (2)
• Урок 10. Равнобедренный треугольник (1)
• Урок 11. Равнобедренный треугольник (2)
• Урок 12. Периметр треугольника
• Урок 13. Периметр равнобедренного (равностороннего) треугольника
• Урок 14. Треугольник и окружность
• Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность
• Урок 16. Равнобедренный треугольник и окружность
• Урок 17. Четырёхугольники
• Урок 18. Параллелограмм
• Урок 19. Периметр параллелограмма
• Урок 20. Прямоугольник
• Урок 21. Периметр прямоугольника
• Урок 22. Квадрат
• Урок 23. Ромб
• Урок 24. Периметр ромба
• Урок 25. Трапеция
• Урок 26. Равнобедренная трапеция
• Урок 27. Периметр трапеции
• Урок 29. Четырёхугольник и окружность (2)
• Урок 30. Многоугольник
• Урок 31. Правильный многоугольник
• Урок 32. Осевая и центральная симметрии

Задание 2. Параллелограмм

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону под углом, 

равным одному из углов параллелограмма. Найдите этот угол.

 а)  90°;      
 б)  120°;      
 в)  60°;      
 г)  30°.

 2. Найдите углы параллелограмма  ABCD, у которого  

(∠ A + ∠ B) : (∠ A + ∠ C) 
= 6 : 7.  

 а)  60°, 120°;        
 б)  60°, 70°;

 в)  65°, 105°;         
 г)  105°, 75°.

 3. Две высоты параллелограмма пересекают его диагональ под углами  57°  и  72°. Найдите углы параллелограмма.

 а)  62°, 127°;        
 б)  51°, 129°;

 в)  65°, 105°;         
 г)  135°, 65°.

 4. Две высоты параллелограмма пересекаются под углом  68°. Найдите углы параллелограмма.

 а)  68°, 112°;        
 б)  66°, 114°;

 в)  63°, 117°;         
 г)  105°, 75°.

 5. Разница двух углов параллелограмма равна  40°. Найдите его углы.

 а)  40°, 140°, 40°, 140°;      
 б)  60°, 100°, 60°, 100°;
 в)  110°, 70°, 110°, 70°;       

 г)  120°, 80°, 120°, 80°.

 6. Один из углов параллелограмма равен полусумме трёх остальных углов. Найдите величину каждого из углов параллелограмма.

 а)  50°, 100°;      
 б)  70°, 120°;

 в)  65°, 130°;       
 г)  60°, 120°.

 7. Из одной вершины параллелограмма проведены биссектриса его угла и высота, угол между ними  28°. Найдите углы параллелограмма.

 а)  50°, 120°;      
 б)  57°, 123°;

 в)  56°, 124°;       
 г)  66°, 114°.

 8. Один из углов параллелограмма на  20°  больше другого. Вычислите угол, образованный высотами, приведенными из вершины его тупого угла.

 а)  80°;        
 б)  20°;      
 в)  100°;      
 г)  60°.

 9. Один из углов параллелограмма равен  45°. Его высота, опущенная из вершины тупого угла, равна  3 см  и  делит сторону параллелограмма пополам. Найдите эту сторону параллелограмма.

 а)  3 см;      

 б)  6 см;      
 в)  8 см;      
 г)  5 см.

10. Найдите диагонали параллелограмма, если они относятся как  3 : 5, а длины его сторон равны  13 см  и  16 см.

 а)  25 см, 75 см;      
 б)  75 см, 125 см;

 в)  12 см, 20 см;       
 г)  15 см, 25 см.

11. Высота параллелограмма, опущенная из вершины тупого угла, равна  6 см и делит сторону параллелограмма пополам. Найдите меньшую диагональ параллелограмма, если его острый угол равен  30°.

 а)  12 см;      
 б)  15 см;      
 в)  6 см;        
 г)  9 см.

12. Стороны параллелограмма относятся как  1 : 2. Определите длины сторон, если диагонали параллелограмма равны  27 см  и  31 см.

 а)  9 см, 18 см;        
 б)  11 см, 22 см;

 в)  13 см, 26 см;      
 г)  18 см, 36 см.

Задания к уроку 18

• Задание 1
• Задание 3