Урок 16. Вычитание дробей

понедельник, 30 июня 2014 г.

Урок 16. Вычитание дробей

ВИДЕО УРОК

Вычитание дробей определяется так же, как и вычитание целых чисел. Это есть действие, с помощью которого по данной сумме двух слагаемых и одному из них отыскивается другое слагаемое. Вычитание дробей можно представить как действие, обратное сложению дробей. Вычесть из одного дробного числа второе – значит найти третье число, которое в сумме со вторым дат первое.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Для начала приведём пример, который позволит нам выяснить, как проводится вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

ПРИМЕР:

Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, ⁵/₈ яблока. После чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания, указанное действие можно записать так:

Понятно, что при этом на тарелке остаётся
5 – 2 = 3 восьмых доли яблока, то есть

Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дробь из дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель.

Озвученное правило с помощью букв записывается так:

Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

ПРИМЕР:

Выполните вычитание обыкновенной дроби ¹⁷/₁₅ из обыкновенной дроби ²⁴/₁₅.

РЕШЕНИЕ:

Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 34, а числитель вычитаемого равен 17, их разность равна:

24 – 17 = 7.

Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями ²⁴/₁₅ и ¹⁷/₁₅ даёт дробь ⁷/₁₅.

Краткий вариант решения выглядит так:

ОТВЕТ: ⁷/₁₅

При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби, которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

ПРИМЕР:

Вычислите разность:

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби делятся на два, то есть дробь ²²/₁₂ – сократимая дробь. Выполнив сокращение этой дроби на 2, приходим к дроби ¹¹/₆.
Дробь ¹¹/₆ неправильная, поэтому из неё нужно выделить целую часть.

Итак, вычисляемая разность дробей с одинаковыми знаменателями равна 1⁵/₆.
Краткий вариант решения выглядит так:

ОТВЕТ: 1⁵/₆

ПРИМЕР:

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.

Чтобы вычесть дробь из дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель.

ПРИМЕР:

Отнимите от обыкновенной дроби ²/₉ обыкновенную дробь ¹/₁₅.

РЕШЕНИЕ:

Так как знаменатели вычитаемых дробей разные, то сначала выполним приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Так как

НОК (9; 15) = 45,

то дополнительным множителем дроби ²/₉ является число

45 : 9 = 5,

а дополнительным множителем дроби ¹/₁₅ является число:

45 : 15 = 3,

тогда

Осталось вычесть из дроби ¹⁰/₄₅ дробь ³/₄₅, получаем

что и даёт нам искомую разность дробей с разными знаменателями.
Краткое решение записывается так:

ОТВЕТ: ⁷/₄₅

Не следует забывать про сокращение полученной после вычитания дроби, а также про выделение целой части.

ПРИМЕР:

Вычтите из дроби ¹⁹/₉ дробь ⁷/₃₆.

РЕШЕНИЕ:

После приведения дробей с разными знаменателям к наименьшему общему знаменателю 36, получим дроби ⁷⁶/₃₆ и ⁷/₃₆. Находим их разность:

Полученная дробь сократима, после её сокращения на 3, получаем ²³/₁₂. А эта дробь неправильная, поэтому, выделив из неё целую часть, получим 1¹¹/₁₂. Краткое решение записывается так:

ОТВЕТ: 1¹¹/₁₂

ПРИМЕР:

Вычитание смешанных дробей.

Чтобы вычесть смешанные числа, сначала приведём дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю. Затем вычтем целое из целого и дробь из дроби.

ПРИМЕР:

Найти разность:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: 4¹³/₂₂

ПРИМЕР:

Но бывают случаи, когда дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого. В таких случаях нужно взять одну единицу из целой части уменьшаемого, раздробить её в те доли, в каких выражена дробная часть, и прибавить к дробной части уменьшаемого. А затем вычитание будет выполняться так же, как вычитание смешанных чисел.

ПРИМЕР:

В случае, когда дробь вычитаемого больше, чем дробь уменьшаемого, поступают следующим образом: берут одну единицу (целое) из целого числа уменьшаемого, записывают его как неправильную дробь, числитель и знаменатель которой равны между собой и равны знаменателю дробной части, и прибавляют к дробной части, далее отнимают две смешанные дроби.

ПРИМЕР:

Выполнить вычитание:

РЕШЕНИЕ:

Дробь ⁴/₉ меньше чем дробь ¹¹/₁₂ так как

4 ∙ 12 = 36 < 9 ∙ 11 = 99,

тогда

ОТВЕТ: 3¹⁹/₃₆

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа.

Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенных дробей, представив натуральное число как дробь.

ПРИМЕР:

Отнимите обыкновенную дробь ⁵/₃ от натурального числа 7.

РЕШЕНИЕ:

Представим число 7 как дробь ⁷/₁, после чего выполним вычитание:

Выделив целую часть из полученной дроби, получаем окончательный ответ.

ОТВЕТ: 5¹/₃

Рассмотрим ещё пример на вычитание смешанного числа из натурального числа.

ПРИМЕР:

Но существует более рациональный способ вычитания дроби из натурального числа. Его преимущества заметны тогда, когда уменьшаемое натуральное число и знаменатель вычитаемой дроби являются большими числами. Если вычитаемая дробь правильная, то уменьшаемое натуральное число можно заменить суммой двух чисел, одно из которых равно единице, отнять правильную дробь от единицы, после чего завершить вычисления.

ПРИМЕР:

Найти разность:

РЕШЕНИЕ:

Выполним вычитание дробей по описанному выше правилу:

ОТВЕТ: ²/₅

ПРИМЕР:

Выполните вычитание обыкновенной дроби ¹³/₆₂ из натурального числа 1065.

РЕШЕНИЕ:

Вычитаемая обыкновенная дробь – правильная. Заменим число 1065 суммой

1064 + 1,

При этом получим:

Осталось вычислить значение полученного выражения. В силу свойств вычитания, полученное выражение можно переписать так:

Вычислим значение разности в скобках, заменив единицу дробью, ¹/₁:

Краткое решение записывается так:

ОТВЕТ: 1064⁴⁹/₆₂

Рассмотрим ещё пример на вычитание смешанного числа из целого числа.

ПРИМЕР:

Если же вычитаемая дробь неправильная, то её можно заменить смешанным числом, после чего провести вычитание смешанного числа из натурального числа.

ПРИМЕР:

Отнимите обыкновенную дробь ⁷³/₅ от натурального числа 644.

РЕШЕНИЕ:

Выделим целую часть из неправильной дроби:

Тогда

ОТВЕТ: 629²/₅

Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби.

Вычитание натурального числа из дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого достаточно представить натуральное число в виде дроби со знаменателем 1.

ПРИМЕР:

Выполните вычитание числа 3 из обыкновенной дроби ⁸³/₂₁.

РЕШЕНИЕ:

Так как число 3 = ³/₁ то:

ОТВЕТ: ²⁰/₂₁

Вычитание натурального числа из неправильной дроби удобнее проводить, представив дробь в виде смешанного числа.

ПРИМЕР:

Отнимите число 3 от дроби ⁸³/₂₁.

РЕШЕНИЕ:

Сначала выделим целую часть из неправильной дроби ⁸³/₂₁, получим:

тогда

Осталось провести вычитание натурального числа из смешанного числа:

ОТВЕТ: ²⁰/₂₁

Распространение свойств вычитания на дробные числа.

Все законы и свойства вычитания натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.

Вместо того, чтобы вычесть сумму дробей, можно вычесть каждое слагаемое последовательно, и обратно: вместо того, чтобы вычитать каждое число последовательно, можно вычесть сразу их сумму.

ПРИМЕР:

Вычислите значение выражения: