Урок 5. Умножение натуральных чисел

воскресенье, 22 июня 2014 г.

Урок 5. Умножение натуральных чисел

ВИДЕО УРОК

Здесь мы рассмотрим более подробно действие умножение, а также законы умножения и умножение многозначных чисел в столбик.

Умножением называется действие, состоящее в нахождении суммы одинаковых слагаемых.

ПРИМЕР:

Если число 5 нужно повторить слагаемым 7 раз, то пишут

5 × 7 = 35,

и говорят, что нужно 5 умножить на 7:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
= 5 × 7.

Можно сказать иначе: умножить одно число на другое – это значит повторить первое число слагаемых столько раз, сколько единиц во втором числе. Число, которое является слагаемым, называется множимым; число, которое указывает, сколько таких одинаковых слагаемых, называется множителем. Результат действия, т. е. число, полученное при умножении, называется произведением. Множимое и множитель иногда называют одним словом сомножители.

Так, в нашем примере, 5 – множимое, 7 – множитель, 35 – произведение.

Знак умножения (×) ставится между множимым и множителем. В качестве знака умножения часто употребляется точка (∙). Перед буквенными сомножителями знак умножения не ставится.

– если один из двух сомножителей равен единице, то произведение равно второму сомножителю.

ПРИМЕР:

1 × 5 = 5.

– если хоть один сомножитель равен нулю, то и произведение равно нулю.

ПРИМЕР:

0 × 324 = 0.

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ

Переместительный закон.

От перемены мест сомножителей произведение не изменяется.

Сочетательный закон.

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей мы заменим их произведением.

Распределительный закон.

Произведение суммы (разности) нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме (разности) произведений каждого слагаемого на это число.

Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 1000 и так далее, надо приписать справа к этому числу один, два, три и так далее нулей.

ПРИМЕР:

Умножим 236 на 4. Мы можем представить 236 как сумму трёх слагаемых (200 30 + 6) и, пользуясь распределительным законом, умножить отдельно сотни, десятки и единицы на 4 и полученные произведения сложить:

(200 + 30 + 6) × 4 =

200 × 4 + 30 × 4 + 6 × 4

= 800 + 120 + 24 = 944.

ПРИМЕР:

Умножим 618 на 325. Здесь множитель – трёхзначное число. Поэтому, сначала мы умножили множимое на единицы множителя (618 × 5) и получили первое промежуточное произведение 3090; потом умножили множимое на десятки множителя (618 × 2), получили второе промежуточное произведение 1236 и начали подписывать его под десятками первого; затем умножили множимое на сотни множителя (618 × 3), получили третье промежуточное произведение 1854 и начали подписывать его под сотнями первого. Наконец мы сложили три промежуточных произведения и нашли общее произведение – 20085.

ПРИМЕР:

Умножим 642 на 305. Особенностью этого случая является следующее: число 305, являющееся множителем, имеет нуль на месте десятков. На этот нуль мы тоже умножали множимое 642 и получили второе промежуточное произведение, равное нулю (нули можно не писать).

При умножении натуральных чисел, оканчивающихся нулями, надо:

– выполнить умножение. не обращая внимания на нули в конце чисел;

– к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их во всех множителях вместе.

Изменение произведения.

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

Если аb = с, то (am)b = cm.

ПРИМЕР:

5 × 6 = 30,

(5 × 4) × 6 =

30 × 4.

Проверка умножения.

Умножение можно проверить умножением; для этого следует переставить сомножители и снова их перемножить или: чтобы найти неизвестный сомножитель, достаточно разделить произведение двух сомножителей на известный сомножитель.

Для любознательных.

СПОСОБЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ

Давайте рассмотрим, как можно умножать двузначные числа, используя традиционные методы, которым нас обучают в школе. Некоторые из этих методов, могут позволить вам быстро перемножать в уме двузначные числа при достаточной тренировке. Знать эти методы полезно.

Умножение чисел до 20.

ПРИМЕР:

Перемножим 16 и 18.

1 шаг. К одному из чисел прибавляем кол-во единиц второго:

16 + 8 = 24.

2 шаг. Полученное число умножаем на 10;

24 × 10 = 240.

3 шаг. Далее к результату прибавляем произведение единиц 16 и 18:

240 + 6 × 8 = 288.

Методика умножения чисел до 20 очень проста. Если записать короче, то:

16 × 18 =

(16 + 8) × 10 + 6 × 8

= 288.

Доказать правильность этого метода просто:

16 × 18 = (10 + 6) × (10 + 8) =

10 × 10 + 10 × 6 + 10 × 8 + 6 × 8 =

10 × (10 + 6 + 8) + 6 × 8.

Последнее выражение и является демонстрацией описанного выше метода.

По сути, этот метод является частным способом использования опорных чисел. В данном случае опорным числом является 10. В последнем выражении доказательства видно, что именно на 10 мы умножаем скобку. Но в качестве опорного числа можно использовать и любые другие числа, из которых наиболее удобными являются 20, 25, 50, 100… .

Опорное число.

ПРИМЕР:

Умножим 15 на 18.

Здесь удобно использовать опорное число 10.

15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8. Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

1. К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.

2. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10.

Ответ: 230.

3. К 230 прибавляем произведение 5 × 8.

Ответ: 270.

Раскладка на десятки и единицы.

Самым простым для понимания способом умножения двузначных чисел является тот, которому нас научили в школе. Он заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

ПРИМЕР:

63 × 85 =

(60 + 3) × (80 + 5) =

60 × 80 + 60 × 5 +3 × 80 + 3 × 5

= 4800 + 300 + 240 + 15 = 5355.

Проще такие примеры решаются в 3 действия. Сначала умножаются десятки друг на друга. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки. Затем прибавляется произведение единиц. Схематично это можно описать так:

Первое действие:

60 × 80 =
4800 – запоминаем

Второе действие:

60 × 5 + 3 × 80 =
540 – запоминаем

Третье действие:

(4800 + 540) + 3 × 5 =
5355 – ответ

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.

Вывод. Не трудно убедиться в том, что этот способ не является самым эффективным, то есть позволяющим при наименьших действиях получить правильный результат. Следует принять во внимание другие способы.

Для получения единиц произведения перемножают единицы сомножителей, для получения десятков умножаются десятки одного на единицы другого сомножителя и наоборот и результаты складываются, для получения сотен перемножаются десятки.

Этот способ умножения следует из тождества:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd.

ПРИМЕР:

Умножение на число, близкое к единице какого-нибудь разряда.

ПРИМЕР:

405 × 97 = 405 × (100 – 3)

= 405 × 100 – 405 × 3 =

40500 – 1215 = 39285;

8012 × 1006 =

8012 × (1000 + 6) =

8012000 + 8012 × 6 =

8012000 + 48072 = 8060072.

Арифметические подгонки.

Приведение примера к удобному виду является достаточно распространенным способом счета в уме. Подгонять пример удобно, когда вам нужно быстро найти примерный или точный ответ. Желание подгонять примеры под определенные математические закономерности часто воспитывается на математических кафедрах в университетах или в школах в классах с математическим уклоном. Людей учат находить простые и удобные алгоритмы решения различных задач. Вот некоторые примеры подгонки:

ПРИМЕР:

Умножить: 49 × 49

может решаться так:

Сначала считается 49 на сто – 4900. Затем 4900 делится на 2, что равняется 2450, затем вычитается 49. Итого 2401.

ПРИМЕР:

Произведение 56 × 92 решается так:

56 × 100 – 56 × 2 × 2 × 2.

Получается:

56 × 2 = 112 × 2 = 224 × 2 = 448.

Из 5600 вычитаем 448, получаем 5152.

Этот способ может оказаться эффективнее предыдущего только в случае, если вы владеете устным счетом на базе перемножения двузначных чисел на однозначные и можете держать в уме одновременно несколько результатов.

Вывод. Способ, когда вы стараетесь умножить 2 числа, раскладывая их на более простые арифметические процедуры отлично тренирует ваши мозги, но связан с большими мысленными затратами, а риск получить неправильный результат выше, чем при первом методе.

Мысленная визуализация умножения в столбик.

Счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа. Но его можно упростить.

ПРИМЕР:

56 × 67 – посчитаем в столбик.

Первое действие:

56 × 7 = 350 + 42 =
392 – запомните и не забывайте до третьего действия.

Второе действие:

56 × 6 = 300 + 36 = 336
(ну или 392 – 56).

Третье действие:

336 × 10 + 392 =

3360 + 392 = 3752

тут посложнее, но вы можете начинать называть первое число, в котором уверены – «три тысячи…», а пока говорите, складывайте

360 и 392.

Вывод: счет в столбик напрямую сложен, но вы можете, при наличии навыка быстрого умножения двузначных чисел на однозначные, его упросить.

Как можно заметить, ни один из описанных выше способов не позволяет считать в уме достаточно быстро и точно все примеры умножения двузначных чисел. Нужно понимать, что использование традиционных способов умножения для счета в уме не всегда является рациональным, то есть позволяющим при наименьших усилиях достигать максимального результата.

Умножение на 9, 99 и 999.

Чтобы умножить на число, написанное девятками, надо к множимому приписать справа столько нулей, сколько девяток во множителе, и из результата вычесть множимое.

ПРИМЕР:

387 × 9 = 3780 – 387 = 3483;

24 × 99 = 2400 – 24 = 2376;

18 × 999 =
18000 – 18 = 17982.

Умножение двузначного числа на 11.

Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр.

ПРИМЕР:

72 × 11 =

7 × (7 + 2) × 8 = 792.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, надо между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать избыток суммы цифр числа на 10.

ПРИМЕР:

68 × 11 =

6 × (6 + 8) × 8 = 748.

Задания к уроку 5

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 22 июня 2014 г.