Урок 26. Округление чисел

понедельник, 30 июня 2014 г.

Урок 26. Округление чисел

ВИДЕО УРОК

Округление натуральных чисел.

Одним из источников получения приближённых чисел является округление. Округляют как приближённые, так и точные числа.

Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.

ПРИМЕР:

В день переписи населения число жителей города равнялось 57328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число уже вскоре станет неверным. В нём определённо изменятся цифры разрядов единиц и десятков, а возможно и сотен. Поэтому можно сказать, что в городе живёт приблизительно 57000 человек.

В данном примере мы заменили нулями цифры единиц, десятков и сотен. В таких случаях говорят, что мы округлили число до тысяч.

Округлить число до определённой цифры (знака), значит заменить его близким по значению числом с нулями в конце.

Округлением данного натурального числа до некоторого разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путём отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда и заменой их нулями.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и так далее.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и так далее.

Если число округляется до десятков, то нулём заменяем цифру в разряде единицы.

Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять в разряде единиц, и разряде десятков.

Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.

Записывают результат округления после специального знака <<≈>>. Этот знак читается как <<приближённо равно>>.

При округлении натурального числа до какого-либо разряда пользуются правилами округления.

– сначала подчёркивают цифру разряда, до которого надо округлить число;

– затем отделяют все цифры, стоящие справа от этого разряда вертикальной чертой.

При округлении числа до указанного разряда мы заинтересованы в том, чтобы округлённое число было к первоначальному числу как можно ближе. Для этого нужно пользоваться следующим правилом:

– если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями; цифра разряда, до которого округляем, остаётся неизменной (округление с недостатком);

– если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляется, прибавляется 1, (округление с избытком).

ПРИМЕР:

Округлим 57861 до тысячных.

РЕШЕНИЕ:

Выполним два пункта из правил округления, то есть сначала подчёркнём цифру разряда, до которого надо округлить число, затем отделим все цифры, стоящие справа от этого разряда вертикальной чертой.

После подчёркнутой цифры стоит цифра 8, значит к цифре разряда тысяч (у нас это 7) прибавим 1, а все цифры, отделённые вертикальной чертой заменим нулями.

ОТВЕТ: 58 000

ПРИМЕР:

Округлим 756 485 до сотен.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: 756 500

ПРИМЕР:

Округлим 364 до десятков.

РЕШЕНИЕ:

364 ≈ 360 – в разряде единиц стоит 4, поэтому мы оставляем 6 в разряде десятков без изменений.

На числовой оси число 364 заключено между двумя <<круглыми>> числами 360 и 370. Эти два числа называют приближёнными значениями числа 364 с точностью до десятков.

Число 360 – приближённое значение с недостатком, а число 370 – приближённое значение с избытком.

В нашем примере, округлив 364 до десятков, мы получили 360 – приближённое значение с недостатком.

ОТВЕТ: 360

ПРИМЕР:

Округлим число 7628 до сотен.

РЕШЕНИЕ:

Для этого цифры десятков и единиц заменим нулями. Цифру в разряде сотен оставим без изменения, так как следующая за ней цифра 2. Получим 7600.

ПРИМЕР:

Округлим число 48751 до тысяч.

РЕШЕНИЕ:

Для этого цифры сотен, десятков и единиц заменим нулями. Цифру в разряде тысяч увеличим на 1, так как следующая за ней цифра 7. Получим 49000.

ПРИМЕР:

9675 ≈ 9700.

Читаем: 9675 приближённо равно 9700.

Округлённые результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения <<тыс.>> (тысяча), <<млн.>> (миллион) и <<млрд.>> (миллиард).

ПРИМЕР:

8 659 000 = 8 659 тыс.

3 000 000 = 3 млн.

В тех случаях, когда мы хотим быстро оценить ситуацию, принять правильное решение, могут быть полезными знания об округлении чисел.

Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.

ПРИМЕР:

Пусть нам нужно посчитать:

794 ∙ 52 =

РЕШЕНИЕ:

До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.

794 ∙ 52 ≈ 800 ∙ 50 ≈ 40 000.

Делаем вывод, что ответ будет близок к 40 000.

794 ∙ 52 = 41 228.

ОТВЕТ: 41 228

ПРИМЕР:

Рассмотрим произведение 682 ∙ 51.

РЕШЕНИЕ:

До точного вычисления сделаем прикидку, округлив множители до наивысшего разряда. Получим:

682 ∙ 51 ≈ 700 ∙ 50 = 35000.

Значит, точное произведение должно быть близко к 35000.

Действительно, 682 ∙ 51 = 34782.

Аналогично можно выполнить прикидку округлением и при делении чисел.

ЗАДАЧА:

До пункта прибытия автомобилю осталось проехать 283 км. Водитель знает, что расход бензина составляет 9 л на 100 км пути, а объем топливного бака равен 60 л. Надо быстро определить, хватит бензина до пункта прибытия или нет ?

РЕШЕНИЕ:

Лишь взглянув на прибор, который показывает уровень топлива в баке,

водитель убедился, что бензина хватит. Как ему удалось так быстро провести расчеты ? Водитель сделал так: округлил расход бензина до 10 л на 100 км пути, расстояние, которое осталось ему проехать, – до 300 км, а затем выполнил следующие действия:

(300 : 100) ∙ 10 = 30.

Полученный результат 30 л сравнил с указателем уровня топлива в баке.

Поскольку бак был наполнен более чем наполовину, а половина бака как раз и составляет 30 л, то водитель сделал вывод, что топлива хватит.

Более точный результат можно было получить, найдя значение выражения

(283 : 100) ∙ 9.

Однако водитель так делать не стал, он прикинул значение этого числового выражения.

Обратите внимание, что водитель округлял все числа в << худшую >> сторону – взял большие расходы топлива, чем на самом деле, и большее расстояние, чем нужно проехать. Если топлива хватит при << ухудшенных >> условиях, то его хватит и на самом деле. А вот округлять в сторону << улучшения >> опасно. Такая прикидка может подвести водителя.

Подобные прикидки можно делать, например, когда определяете, хватит ли денег на покупку, которая состоит из многих товаров. Планируя свой день, вы прикидываете время на выполнение определенного вида работ.

Прикидку стоит применить тогда, когда жизненная ситуация позволяет заменить трудоемкие вычисления простыми расчетам.

Округление десятичных дробей.

На практике часто бывает необходимо округлить десятичные дроби.

ПРИМЕР:

Пусть ширина земельного участка прямоугольной формы равна 17 м, а длина – 36 м. Тогда ее площадь равна 612 м², или 6,12 соток. Но в повседневной жизни говорят, что площадь этого участка примерно равна 6 сотням.

В таких случаях число 6 называют приближенным значением числа 6,12 и говорят, что число 6,12 округлили до числа 6.

записывают

6,12 ≈ 6

(Читают: << 6,12 приближенно равен 6>>).

ПРИМЕР:

Земельный участок прямоугольной формы, длина которого равна 29 м, а ширина – 24 м, имеет площадь 696 м², или 6,96 сотки.

РЕШЕНИЕ:

На практике число 6,96 округляют и говорят, что площадь участка приближенно равен 7 соткам, то есть

6,96 ≈ 7.

Почему же число 7, а не 6, считают приближенным значением числа 6,96 ? Так договорились потому, что число 7 – ближайшее к числу 6,96 натуральное число.

Следовательно, при замене числа 6,96 числом 7 ошибка меньше, чем при замене числа 6,96 числом 6.

Воспользовавшись рисунком,

можно записать:

6,12 ≈ 6,

6,2 ≈ 6,

6,391 ≈ 6,

6,41 ≈ 6,

6,6 ≈ 7,

6,703 ≈ 7,

6,8 ≈ 7.

Мы привели примеры округления десятичных дробей до единиц.

А как округлить до единиц число 6,5, которое одинаково удалено от цифр 6 и 7 ? В таких случаях договорились округлять до большего из двух чисел. Таким образом, считают, что

6,5 ≈ 7.

Десятичные дроби можно округлять не только до единиц, но и до десятых, сотых, тысячных и т.д.

При округлении десятичной дроби до разряда единиц, десятых, сотых и так далее поступают следующим образом:

– отбрасывают все цифры, стоящие за этим разрядом справа;

– последнюю из оставшихся цифр не меняют, если первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4;

– последнюю из оставшихся цифр увеличивают на 1, если первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9.

ПРИМЕР:

Округлить:

– до десятых 12,34;

12,34 ≈ 12,3;

– до сотых 34,562;

34,562 ≈ 34,56;

– до целых 27,4;

27,4 ≈ 27;

– до сотых 3,2465;

3,2465 ≈ 3,25;

– до тысячных 3,14159;

3,14159 ≈ 3,142;

– до десятитысячных 3,141592;

3,141592 ≈ 3,1416.

ПРИМЕР:

Округлить дробь 4,738 до сотых.

РЕШЕНИЕ:

Отбросим в этой дроби цифру 8, стоящую после разряда сотых. Получим 4,73. Увеличим последнюю цифру числа 4,73 на единицу. Получим 4,74. Данное число 4,738 заключено между числами 4,73 и 4,74. Так как число 4,738 ближе к числу 4,74, чем к числу 4,73, то результатом округления данного числа до сотых считают число 4,74. Это записывают так:

4,738 ≈ 4,74.

Если число 4,738 округлить до десятых, то в результате получим 4,7. Это записывают так:

4,738 ≈ 4,7.

Если при округлении десятичной дроби последней из оставшихся цифрой в дробной части окажется 0, то отбрасывать его нельзя (как мы это делали с точными числами). В этом случае число 0 в конце дробной части показывает, до какого разряда округлено число.

ПРИМЕР:

Округлить:

– до десятых 31,967;

31,967 ≈ 32,0;

– до сотых 0,796;

0,796 ≈ 0,80;

– до десятых 3,027;

3,027 ≈ 3,0;

– до тысячных 13,5203;

13,5203 ≈ 13,520.

Если десятичная дробь округляется до разряда выше единиц, то дробная часть отбрасывается, а целая часть округляется по правилу округления натуральных чисел.

ПРИМЕР:

Округлить число 964,58 до десятых:

964,58 ≈ 960.

ПРИМЕР:

Округлить число 27,874 до трёх значащих цифр.

РЕШЕНИЕ:

Округляя число 27,874 до трёх значащих цифр, пишем 27,9. Третья цифра усилена до 9, так как первая отбрасываемая цифра 7 больше, чем 5. Число 27,9 ближе к данному числу, чем неусиленное округлённое число 27,8.

ОТВЕТ: 27,9

ПРИМЕР:

Округлить число 36,251 до первого десятичного знака.

РЕШЕНИЕ:

Округляя число 36,251 до первого десятичного знака, пишем 36,3. Цифра десятых 2 усилена до 3, так как первая отбрасываемая цифра равна 5, а за ней стоит значащая цифра 1. Число 36,3 ближе к данному числу (хотя и незначительно), чем неусиленное число 36,2.

ОТВЕТ: 36,3

ПРИМЕР:

Округлить число 27,48 до единиц.

РЕШЕНИЕ:

Округляя число 27,48 до единиц, пишем 27. Это число ближе к данному числу, чем число 28.

ОТВЕТ: 27

Задания к уроку 26:

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 30 июня 2014 г.