Урок 21. Кінцеві десяткові дроби

пятница, 5 сентября 2014 г.

Урок 21. Кінцеві десяткові дроби

ВИДЕО УРОК

Десяткова дріб, її запис і читання.

Так звана десяткова запис дробових чисел може бути використана як для натуральних, так і дрібних чисел. Вона виглядає як набір з двох і більше цифр, між якими знаходиться кома.

Десяткова кома потрібна для того, щоб відокремити цілу частину від дробової частини. Як правило, остання цифра десяткового дробу не буває нулем, за винятком випадків, коли десяткова кома стоїть відразу після першого ж нуля.

ПРИКЛАД:

Наведемо приклади запису десяткових дробів.

34,21,

0,3503,

0,0001,

11234,78.

У деяких підручниках можна зустріти використання точки замість коми:

5.67,

6789.1011,

0.728.

Цей варіант вважається рівнозначним, але він більш характерний для англомовних джерел.

Визначення десяткових дробів.

Ґрунтуючись на понятті десяткового запису, можна сформулювати наступне визначення десяткових дробів:

Десяткові дроби є дробові числа в десяткового запису.

Для чого нам потрібна запис дробів в такій формі? Вона дає нам деякі переваги перед звичайними дробами, наприклад, більш компактну запис. Особливо в тих випадках, коли в знаменнику стоять 1000, 100, 10, тобто знаходиться число, що складається з одиниці і нулів.

ПРИКЛАД:

⁶/₁₀ = 0,6,

⁸³⁵/₁₀₀ = 8,35,

²⁸/₁₀₀₀ = 0,028.

Як правильно читати десяткові дроби.

Існують деякі правила читання записів десяткових дробів. Так, ті десяткові дроби, яким відповідають їх правильні звичайні еквіваленти, читаються майже також, але з додаванням слів << нуль цілих >> на початку. Так запис 0,14, який відповідає звичайна дріб ¹⁴/₁₀₀, читається як << нуль цілих чотирнадцять сотих >>.

Якщо ж десяткового дробу можна поставити відповідно змішане число, то вона читається тим же чином, як і це число. Так, якщо у нас є дріб 6,002, яка відповідає звичайного дробу ⁶⁰⁰²/₁₀₀₀, то читається такий запис так << шість цілих дві тисячних >>.

Раніше ми розглядали дроби зі всілякими знаменниками і називали їх звичайними дробами. Це будь-яка дріб, яка виникала в процесі вимірювання або поділу, незалежно від того, який у нас виходив знаменник. Тепер з безлічі дробів ми виділимо дроби із знаменниками: 10, 100, 1000 і так далі.

Дробу, знаменниками яких є тільки числа, зображувані одиницею (1) з наступними нулями (одним або декількома), називаються десятковими.

ПРИКЛАД:

Десяткові дроби записують без знаменника по тим же правилам, за якими записують натуральні числа. У натуральному числі на першому місці стоять одиниці, на другому місці зліва – десятки, на третьому місці зліва – сотні і так далі.

ПРИКЛАД:

Якщо в числі 222 з правого боку підставимо ще одну цифру, наприклад 3, то вона буде позначати одиниці, в десять разів менші попередніх, іншими словами, вона буде позначати десяті частки одиниці; вийде число, що містить 222 цілих одиниці і 3 десятих частки одиниці. Прийнято між цілою і дробовою частиною числа ставити кому, тобто писати так:

222,3

і читати: двісті двадцять дві цілих, три десятих.

Якщо ми після трійки в цьому числі підставимо ще цифру праворуч, наприклад 4, то вона буде позначати 4 сотих частки одиниці; число набуде вигляду:

222,34

і вимовляється: двісті двадцять дві цілих, тридцять чотири сотих.

При написанні десяткових дробів потрібно позначати нулем відсутні цілі і дробові розряди:

ПРИКЛАД:

0,325 – немає цілих;

0,012 – немає цілих і немає десятих;

1,208 – немає сотих;

0,20408 – немає цілих, сотих і десятитисячних.

Розряди в десяткових дробах.

Значення цифри в запису десяткового дробу залежить від того на якому місці вона розташована (так само, як і в випадку з натуральними числами).

Цифри, що стоять правіше коми, прийнято називати десятковими знаками. Перший розряд після коми називають розрядом десятих, другий – розрядом сотих, третій – розрядом тисячних і так далі. Завдяки Помісному принципом записи десяткові дроби мають велику перевагу перед звичайними дробами: при порівнянні десяткових дробів і виконанні дій над ними немає необхідності приводити їх до спільного знаменника. Тому на практиці частіше користуються десятковими дробами.

Так, в десяткового дробу

0,7 сімка – десяті частки, в,

0,0007 – десятитисячні частки, а в дроби

70000,345 вона означає сім десятків тисяч цілих одиниць.

Таким чином, в десяткових дробах теж існує поняття розряду числа. Назви розрядів, розташованих до коми, аналогічні тим, що існують в натуральних числах.

Щоб не допустити помилки при написанні десяткових дробів, потрібно пам'ятати, що після коми в зображенні десяткового дробу повинно бути стільки цифр, скільки буде нулів в знаменнику, якби цей дріб ми написали зі знаменником. Велике значення при написанні десяткових дробів має нуль. Будь-яка правильна десяткова дріб має нуль на місці цілих для позначення того, що цілі в такий дробу відсутні. Пам'ятайте, що приписування справа нулів до десяткового дробу не змінює її величини, також при приписуванні зліва нулів до десяткового дробу теж не змінює її величини. Але приведення десяткових дробів до спільного знаменника здійснюється за допомогою приписування нулів до цих дробів.

ПРИКЛАД:

Розглянемо десяткову дріб:

43,098,

У неї в розряді десятків знаходиться четвірка, в розряді одиниць - трійка, в розряді десятих – нуль, сотих – дев'ятка, тисячних – вісімка.

Прийнято розрізняти розряди десяткових дробів по старшинству. Якщо ми рухаємося по цифрам зліва направо, то ми будемо йти від старших розрядів до молодших. Виходить, що сотні старше десятків, а мільйонні частки молодше, ніж соті. Якщо взяти ту кінцеву десяткову дріб, розглянуту раніше, то в ній старшим, або вищим буде розряд сотень, а молодшим, або нижчим – розряд тисячних.

Будь-яку десяткову дріб можна розкласти по окремим розрядам, тобто представити у вигляді суми. Ця дія виконується так само, як і для натуральних чисел.

ПРИКЛАД:

Розкладіть дріб 56,0455 за розрядами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

50 + 6 + 0,04 + 0,005 + 0,0005

Якщо використовувати властивості додавання, то можна уявити цю дріб в іншому вигляді:

56 + 0,0455,

або

56,0055 + 0,04.

Перетворення звичайного дробу в десяткову дріб.

Звичайні дроби можна розглядати, як частка від ділення чисельника на знаменник. При розподілі чисельника на знаменник отримуємо десяткові дроби. Існує кілька способів перетворення звичайного дробу в десяткову дріб.

ПЕРШИЙ СПОСІБ

Щоб перетворити звичайну дріб в десяткову дріб, потрібно помножити чисельник і знаменник даної дробу на таке число, щоб в знаменнику вийшла одиниця з нулями (якщо це можливо).

ПРИКЛАД:

Однак слід мати на увазі, що не будь-яку звичайну дріб можна перетворити на десяткову (кінцеву).

У вигляді кінцевої десяткового дробу можна уявити всі ті, і тільки ті звичайні дроби, які після скорочення в знаменнику не містять ніяких простих множників, крім 2 і 5.

ПРИКЛАД:

Дроби

³/₄ і ⁷/₂₀

перетворюються в кінцеві десяткові дроби. Знаменники цих дробів мають в своєму розкладанні на прості множники лише два простих числа 2 і 5.

4 = 2 × 2;

20 = 2 × 2 × 5.

Крім поділу чисельника на знаменник, перетворити такі дроби в десяткові можна ще й так:

В обох випадках додатковими множниками ми вибрали такі, щоб зрівняти кількість двійок і п'ятірок в знаменниках. Тоді в знаменниках отримали числа, записані одиницею з наступними нулями. А такі звичайні дроби можна записати кінцевими десятковими дробами.

ПРИКЛАД:

Переведіть звичайну дріб ³/₂₀ в десяткову.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Переконуємося, що дріб можна перевести в кінцеву десяткову.

Множимо чисельник і знаменник на 5. У знаменнику отримаємо 100.

ВІДПОВІДЬ: 0,15

ПРИКЛАД:

Переведіть звичайну дріб ¹¹/₄₀ в десяткову.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ: 0,275

ДРУГИЙ СПОСІБ

Цей спосіб складніший, але застосовується частіше першого. Для цього, щоб його використовувати, потрібно знати розподіл куточком.

Щоб звернути звичайну дріб в десяткову дріб, потрібно чисельник розділити на знаменник.

ПРИКЛАД:

Переведіть звичайну дріб ⁷⁸/₂₀₀ в десяткову.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Переконуємося, що дріб можна перевести в кінцеву десяткову.

Ділимо куточком чисельник на знаменник.

ВІДПОВІДЬ: 0,39

ПРИКЛАД:

Наведемо список дробів, із знаменниками, які частіше за інших зустрічаються в завданнях.

Перетворення десяткового дробу в звичайну дріб.

Щоб перетворити десяткову дріб в звичайну дріб, її записують зі знаменником і, якщо це можливо, скорочують.

ПРИКЛАД:

Основна властивість десяткового дробу.

Значення десяткового дробу не зміниться, якщо до неї справа дописати кілька нулів.

ПРИКЛАД:

0,3 = 0,30 = 0,300 і так далі.

Ця властивість є наслідком основного властивості звичайних дробів.

ПРИКЛАД:

На підставі цієї властивості виконується роздроблення і скорочення десяткових дробів. Щоб висловити десяткову дріб в менших десяткових частинах, тобто виконати роздроблення, досить написати відповідну кількість нулів після останнього її розряду.

ПРИКЛАД:

2,31 = 2,310 = 2,3100 = 2,31000 і так далі.

В інших випадках доводиться вирішувати зворотну задачу: десяткову дріб, що має в кінці хоча б один нуль, висловлювати в більших десяткових частинах (скорочення). Для цього достатньо закреслити (відкинути) ці нулі.

ПРИКЛАД:

5,750 = 5,75;

12,700 = 12,7;

23,3000 = 23,3.

Порівняння десяткових дробів за величиною.

При вживанні десяткових дробів дуже важливо вміти порівнювати між собою дробу і відповідати на питання, які з них рівні, які більше і які менше. З двох десяткових дробів та більше, у якій число цілих більше; за однакової кількості цілих та дріб більше, у якій число десятих більше; за однакової кількості цілих і десятих та дріб більше, у якій число сотих більше, і так далі.

ПРИКЛАД:

Візьмемо дві дробу:

3,5 і 2,5

і порівняємо їх за величиною. Десяткові знаки у них однакові, але у першого дробу 3 цілих, а у другій 2. Значить перша дріб більше другий:

3,5 > 2,5.

ПРИКЛАД:

Візьмемо дві дробу:

0,4 і 0,38.

Для порівняння цих дробів потрібно приписати справа до першого дробу нуль. Тоді ми будемо порівнювати дроби 0,40 і 0,38. Кожна з них має після коми дві цифри: значить у цих дробів один і той же знаменник 100. Нам потрібно тільки порівняти їх чисельники, але чисельник 40 більше 38. Значить перша дріб більше другий:

0,4 > 0,38.

ПРИКЛАД:

З трьох дробів:

2,432;

2,41;

2,4098,

Найбільша перша, так як в ній сотих більше, а цілі і десяті у всіх дробах однакові.

Щоб збільшити десяткову дріб в 10 разів, потрібно перенести кому в ній на один символ вправо.

Щоб збільшити її в 100 разів, потрібно перенести кому на два знака вправо.

Щоб збільшити в 1000 разів – на три знака вправо і так далі.

Якщо при цьому не вистачає знака у числа, то приписують до нього справа нулі.

ПРИКЛАД:

Збільшимо дріб 1,5 в 100 раз, перенісши кому на два знака; отримаємо 150.

Навпаки, якщо потрібно зменшити десяткову дріб в 10, в 100, в 1000 і так далі раз, то потрібно перенести в ній кому вліво на один, два, і так далі знака.

Значущі цифри.

Значущими цифрами числа називаються всі його цифри, починаючи з першої зліва (відмінною від нуля) до останньої, за правильність якої можна ручатися (навіть якщо це нуль, який в точних десяткових дробах на кінці просто не пишеться).

ПРИКЛАД:

5 – одна значуща цифра;

0,5 – дна значуща цифра (один десятковий знак);

0,05 – одна значуща цифра (два десяткових знака);

0,25 – дві значущі цифри (два десяткових знака); 0,025 – дві значущі цифри (три десяткових знака));

0,304 – три значущі цифри (три десяткових знака);

0,0208 – три значущі цифри (чотири десяткових знака);

1234 – чотири значущі цифри;

0,2134 – чотири значущі цифри (чотири десяткових знака);

0,01034 – чотири значущі цифри (п'ять десяткових знаків).

Все десяткові дроби, про які ми говорили вище, є кінцевими десятковими дробами. Це означає, що кількість цифр, розташоване у них після коми, є кінцевим.

Кінцеві десяткові дроби є вид десяткових дробів, у яких після знака коми стоїть кінцеве число знаків.

ПРИКЛАД:

0,367, 3,7,

55,102567958,

231,032.

Будь-яку з цих дробів можна перевести або в змішане число (якщо значення їх дробової частини відрізняється від нуля), або в звичайну дріб (при нульовій цілої частини).

Але зворотний процес, тобто запис звичайного дробу в десятковому вигляді, може бути виконаний не завжди.

Завдання до уроку 21

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 5 сентября 2014 г.