Урок 15. Додавання звичайних дробів

пятница, 5 сентября 2014 г.

Урок 15. Додавання звичайних дробів

ВИДЕО УРОК

Додавання дробів є дія, що складається в тому, що кілька даних чисел (доданків) з'єднуються в одне ціле (суму), що містить в собі всі одиниці і частки одиниць доданків.

Додавання дробів з однаковими знаменниками.

Спочатку розберемо складання дробів з однаковими знаменниками. Отримати правило складання дробів нам допоможе наступний приклад.

ПРИКЛАД:

Нехай на тарілку поклали три восьмих частки яблука і після цього ще дві восьмих частки такого ж яблука.

Ці дії можна записати так:

В результаті на тарілці виявилося

3 + 2 = 5 восьмих часток яблука, тобто, тобто ⁵/₈. Таким чином, додавання звичайних дробів ³/₈ і ²/₈ дає звичайну дріб ⁵/₈.

З розглянутого прикладу можна зробити висновок, що додавання дробів з однаковими знаменниками дає дріб, чисельник якого дорівнює сумі числівників складаються дробів, а знаменник дорівнює знаменників вихідних дробів.

Сумою дробів з одним і тим же знаменником називають дріб, що має той же знаменник, а чисельник дорівнює сумі числівників даних дробів.

Запишемо це правило складання дробів за допомогою букв. Нехай нам потрібно виконати додавання звичайного дробу ^a/_b і звичайного дробу ^c/_b. Тоді згідно з правилом складання дробів з однаковими знаменниками справедливо рівність:

Це визначення можна сформулювати також у вигляді наступного правила.

Щоб скласти дробу з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники і залишити той же знаменник.

Всі закони і властивості складання натуральних чисел справедливі і для дробових чисел. Їх застосування в багатьох випадках значно спрощує процес обчислення.

Сума дрібних чисел підпорядковується переставному закону. Сума дрібних чисел підпорядковується сполучному закону. Якщо який-небудь доданок збільшимо або зменшимо на яке-небудь число, то і сума збільшиться чи зменшиться на те ж саме число.

ПРИКЛАД:

Складіть звичайні дроби:

⁵/₂₃+ ⁷/_23.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаменники складаються дробів рівні, тому в результаті складання буде дріб з таким же знаменником 23, а її чисельник дорівнюватиме сумі чисельників складаються дробів, тобто,

5 + 7 = 12.

Отже, складання дробів ⁵/₂₃і ⁷/₂₃ призводить нас до дробу ¹²/₂₃. Коротко рішення записується так

ВІДПОВІДЬ: ¹²/₂₃

Якщо складання дробів дає скороченість дроби, то потрібно провести скорочення дробу. Якщо при цьому отримана дріб неправильна, то потрібно виділити з неї цілу частину.

ПРИКЛАД:

Обчисліть суму звичайних дробів:

⁵/₂₈+ ³/_28.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосувавши правило складання дробів з однаковими знаменниками, отримаємо:

Очевидно, отриману дріб можливо скоротити, так як чисельник і знаменник діляться на 2. Виконаємо скорочення дробу:

Таким чином, складання дробів ⁵/₂₈і ³/₂₈ дає ²/₇.

ВІДПОВІДЬ: ²/₇

ПРИКЛАД:

Виконайте додавання звичайних дробів:

¹⁵/₆₂+ ¹⁴⁰/_62.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Проведемо рішення дробів з однаковими знаменниками:

Перевіримо, чи можна скоротити отриману дріб. Для цього обчислимо найбільший спільний дільник її чисельника і знаменника. Найзручніше скористатися алгоритмом Евкліда:

155 = 62 ∙ 2 + 31,

62 = 31 ∙ 2.

Отже

НСД (155, 62) = 31.

Таким чином, дріб ¹⁵⁵/₆₂ можна скоротити на 31.

Очевидно, дріб ⁵/₂ неправильна. Виконавши виділення цілої частини з неправильного дробу ⁵/₂, отримуємо 2¹/_2.
Отже, весь процес складання дробів з однаковими знаменниками ¹⁵/₆₂і ¹⁴⁰/₆₂ можна записати так:

ВІДПОВІДЬ: 2¹/₂

ПРИКЛАД:

¹/₉+ ²/₉ + ⁴/₉ + ⁵/₉ = ¹²/₉ = ⁴/₃ = 1¹/₃.

Додавання дробів з різними знаменниками.

Додавання дробів з різними знаменниками можна звести до додавання дробів з однаковими знаменниками. Для цього достатньо складаються дробу привести до спільного знаменника.

Виходячи з цих міркувань, отримуємо наступний порядок складання дробів з різними знаменниками, яке містить наступні кроки:

– складаються дробу приводяться до спільного знаменника (зазвичай до найменшого спільного знаменника);

– виконується складання отриманих дробів з однаковими знаменниками.

Іди іншими словами:

Щоб скласти дробу з різними знаменниками, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники і підписати спільний знаменник.

ПРИКЛАД:

Складіть звичайні дроби:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаменники складаються дробів різні, тому спочатку потрібно виконати приведення дробів до найменшого спільного знаменника. Для цього знаходимо

НСК (8; 12) = 34.

Потім знаходимо відповідні додаткові множники:

24 : 8 = 3,

34 : 12 = 2

дробів

⁵/₈ і ¹/₁₂.

В результаті отримаємо:

Тепер складаємо дроби

¹⁵/₂₄ і ²/_24.

Отримаємо:

Таким чином, складання дробів з різними знаменниками ⁵/₈ і ¹/₁₂ дає дріб ¹⁷/₂₄. Запишемо всі рішення коротко:

ВІДПОВІДЬ: ¹⁷/₂₄

Якщо при додаванні дробів виходить скоротна дріб і (або) неправильна дріб, то потрібно провести скорочення дробу і при можливості виділити цілу частину.

ПРИКЛАД:

Виконайте додавання дробів з різними знаменниками:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для складання дробів з різними знаменниками, спочатку наведемо їх до найменшого спільного знаменника:

Тепер складемо дроби

³⁶/₁₅ і ¹⁰/_15,

отримаємо:

Перевіримо, чи можливо отриману дріб скоротить. Для цього обчислимо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника, скориставшись способом Евкліда:

46 = 15 ∙ 3 + 1,

15 = 1 ∙ 15,

отже

НСД (46; 15) = 1.

Але дріб ⁴⁶/₁₅ неправильна, тому з неї потрібно виділити цілу частину. Так як:

46 : 15 = 3

(залишок 1), то

Запишемо всі рішення коротко:

ВІДПОВІДЬ: 3¹/₁₅

ПРИКЛАД:

Додати дроби:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо НОК (15,18)

НСК (15,18) = 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 90.

Знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього найменший спільний дільник ділимо по черзі на знаменник кожного дробу.

90 : 15 = 6 – додатковий множник для дробу ³/₁₅.

90 : 18 = 5 – додатковий множник для дробу ⁴/₁₈.

Отримані числа і будуть додатковими множниками для кожної з дробів. Множники записуємо над чисельником дробу праворуч зверху:

Чисельник і знаменник кожного дробу множимо на свій додатковий множник, користуючись основною властивістю дробу. Утворені дроби з однаковими знаменником, складаємо.

Перевіряємо отриману дріб.

Якщо в результаті вийшла неправильна дріб, то результат записуємо у вигляді змішаного числа.

38 < 90, дріб правильна.

Якщо в результаті вийшла скоротна дріб, необхідно виконати скорочення.

Запишемо всі рішення коротко:

ВІДПОВІДЬ: ¹⁹/₄₅

ПРИКЛАД:

Коротше записують так:

ПРИКЛАД:

Додавання звичайного дробу і натурального числа.

Додавання натурального числа з правильною звичайної дробом не представляє інтересу, так як така сума за визначенням є змішане число.

ПРИКЛАД:

Додавання натурального числа з неправильною звичайної дробом можна проводити через додавання двох дробів, якщо натуральне число замінити дробом.

ПРИКЛАД:

Додавання натурального числа і неправильного дробу доцільніше проводити, виділивши з дробу цілу частину. В результаті додавання натурального числа і дроби зводиться до складання натурального числа і змішаного числа.

ПРИКЛАД:

Додавання мішаних чисел.

При складання мішаних чисел виконуються переставний і сполучний закони додавання. Їх застосування у багатьох випадках значно спрощує процес обчислення. Властивості складання дозволяють привести складання змішаних чисел до складання їх цілих частин і до складання їх дрібних частин.

Щоб скласти змішані числа, треба спочатку скласти між собою цілі числа, а потім дробові.

ПРИКЛАД:

Скласти дроби:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Щоб скласти змішані числа потрібно:

– окремо скласти їх цілі частини;

3 + 4 = 7,

– окремо скласти дробові частини (якщо у дрібних частин знаменники різні, то спочатку наводимо їх до спільного знаменника, а потім складаємо);

– скласти отримані результати (якщо при додаванні дрібних частин вийшла неправильна дріб, то потрібно виділити цілу частину з цього дробу і додати до отриманої цілої частини);

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

Додавання трьох і більшої кількості звичайних дробів.

Додавання трьох, чотирьох і так далі дробів можна проводити аналогічно додаванню трьох і більше натуральних чисел.

ПРИКЛАД:

Складіть чотири звичайні дроби:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нам потрібно обчислити суму:

Послідовно замінюючи дві сусідні дробу їх сумою, отримаємо:

Залишилося лише скоротити отриману дріб, після чого виділити цілу частину:

ВІДПОВІДЬ: 1²/₃

Аналогічно проводиться складання кількох натуральних чисел і декількох звичайних дробів.

ПРИКЛАД:

Обчисліть суму:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Властивості додавання дозволяють провести таку угруповання доданків:

Сума трьох натуральних чисел в дужках дорівнює 14, а сума дробів:

Таким чином:

ВІДПОВІДЬ: 14¹¹/₁₂

Правило складання дробів з однаковими знаменниками, і правило складання дробів з різними знаменниками залишаються справедливими для трьох і більшої кількості складаються дробів.

ПРИКЛАД:

Складіть три дроби з різними знаменниками: