Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Периодические функции.

Функцию  у = f(х),  х ∈ Х, называют периодической, если существует такое отличное от нуля число  Т, что для любого  х  из области определения функции справедливо равенство:

f(х + Т) = f(х) = f(х – Т).

Число  Т  называют периодом функции  у = f(х).

Из этого определения сразу следует, что если  Т – период функции 

у = f(х), то 

2Т, 3Т, 4Т, –Т, –2Т, –3Т, –4Т

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Если  Т – период функции, то число вида  kТ, где  k – любое целое число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

График каждой периодической функции состоит из одинаковых линий повторяющихся и изолированных друг от друга, как в рассматриваемом случае, или соединенных в одну общую линию (синусоида и другие.)

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если  Т – основной период функции  у = f(х), то для построения её графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси  х  длиной  Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси  х  на

± Т, ± 2Т, ± 3Т, …

Чаще всего в качестве такого промежутка длиной  Т  выбирают промежуток с концами в точках

(–^Т/₂; 0)  и  (^Т/₂; 0)  или

(0; 0)  и  (Т; 0).

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию

у = х – [х], где  [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1, то значение функции от этого не изменится:

f(x + 1) = (x +1) – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1 = x – [x] = f (x).

Следовательно, при любом значении  х

 f(x + 1) = f(x).  

А это значит, что рассматриваемая функция периодическая, период которой равен 1. Любое целое число также является периодом данной функции, но обычно рассматривают только маленький положительный период функции.

График этой функции приведен на рисунке. Он состоит из бесконечного множества равных отрезков, которые повторяются.

Периодичность тригонометрических функций.

Возьмём произвольный угол  α  и построим подвижной радиус  ОМ  единичной окружности такой, что угол, составленный с осью  Ох  этим радиусом, равен  α.

Если мы к углу    прибавим  2π  или  360° (то есть полный оборот), то углу  α + 2π  или  α + 360°  будет соответствовать то же положение подвижного радиуса  ОМ, что для угла  α.

Так как синус и косинус угла, составленного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, по сути соответственно ордината  у  и абсцисса  х  точки  М, то

sin (α + 2π) = sin α  или 

sin (α + 360°) = sin α

и

cos (α + 2π) = cos α  или 

cos (α + 360°) = cos α.

Таким образом, функции  sin α  и  cos α  от прибавления к аргументу α   одного полного оборота (2π  или  360°) не меняют своих значений.

Точно так же, прибавляя к углу  α  любое целое число полных оборотов, мы не изменим положения подвижного радиуса  ОМ, а потому:

sin (α + 2kπ) = sin α  или 

sin (α + 360°k) = sin α

и

cos (α + 2kπ) = cos α  или 

cos (α + 360°k) = cos α,

где  k – любое целое число.

Функции, обладающие таким свойством, что их значения не изменяются от прибавления к любому допустимому значению аргумента определённого постоянного числа, называются периодическими.

Следовательно, функции  sin α  и  cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

Периодом функции  sin α  и  cos α  является  2π  или  360°.

Функции  tg α  и  сtg α  также периодические и их периодом является число  π  или  180°.

В самом деле, пусть  α – произвольный угол, составленный с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности.

Построим точку  М',

симметричную точке  М  относительно начала координат. Один из углов, образованных с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ', будет равен  α + π.

Если  х  и  у – координаты точки  М, то точки  М'  будут  –х  и  –у. Поэтому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

Отсюда

и, следовательно,

tg (α + π) = tg α,

сtg (α + π) = сtg α.

отсюда следует, что значения  tg α  и  сtg α  не изменяются, если к углу  α  прибавить любое число полуоборотов:

tg (α + kπ) = tg α,

сtg (α + kπ) = сtg α.

где  k – любое целое число.

Периоды функций

y = A sin (ωx + φ)  и

y = A cos (ωx + φ) 

вычисляются по формуле

T = ^2π/_ω,

а период функции

y = A tg (ωx + φ)

по формуле

T = ^π/_ω.

Если период функции  y = f(x)  равен  T₁, а период функции  y = g(x)  равен  T₂, то период функций

y = f(x) + g(x)  и

y = f(x) – g(x)

равен наименьшему числу, при делении которого на  T₁  и  T₂  получаются целые числа.

ПРИМЕР:

Найти период функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 3 sin (x – 2)

равен

T₁ = ^2π/₁ = 2π.

Период функции

y = 7 соs πx

равен

T₂ = ^2π/_π = 2.

Периода у функции

y = 3 sin (x – 2) + 7 соs πx

не существует, так как такого числа, при делении которого на  2π  и  на  2  получались бы целые числа, нет.

ОТВЕТ:

Периода не существует.

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

tg 3850° = tg 250°.

РЕШЕНИЕ:

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом  20 ∙ 180°, то получим:

tg 3850° = tg (20 ∙ 180° + 250°) = tg 250°.

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

сos (–13π) = –1.

РЕШЕНИЕ:

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом  2π, то получим:

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

ПРИМЕР:

Доказать следующее утверждение:

sin (–7210°) = – sin 10°.

РЕШЕНИЕ:

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом  20 ∙ 360°, то получим:

sin (–7210°) = –sin 7210° = –sin (20 ∙ 360° + 10°) – sin 10°.

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

sin 7х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  Т  основной период функции, тогда:

sin 7х = sin 7(х + t) = sin (7х + 7t)

так как   2πk   период синуса, то получим:

sin (7х + 7t) = sin (7х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти основной период функции

соs 0,3х.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  Т  основной период функции, тогда:

соs 0,3х = соs 0,3(х + t) = соs (0,3х + 0,3t)

так как   2πk   период косинуса, то получим:

соs (0,3х + 0,3t) = соs (0,3х + 2πk),

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 5sin 2x + 2ctg 3х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 5sin 2x

равен  Т₁ = ^2𝜋/₂ = π,

а период функции

y = 2ctg 3х

равен  Т₂ = ^𝜋/₃.

Наименьшее число, при делении которого на

Т₁ = π  и  Т₂ = ^𝜋/₃

– получаются целые числа будет число  π. Следовательно, период заданной функции равен  Т = π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 9sin (5x + ^π/₃) – 4cоs (7х + 2).

РЕШЕНИЕ:

Находим периоды слагаемых. Период функции

y = 9sin (5x + ^π/₃)

равен  Т₁ = ^2𝜋/₅,

а период функции

y = 4cоs (7х + 2)

равен   Т₂ = ^2𝜋/₇.

Очевидно, что период заданной функции равен

Т = 2π.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = 3sin πx + 8tg (х + 5).

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = 3sin πx

равен  Т₁ = ^2π/_π = 2,

а период функции

y = 8tg (х + 5)

равен   Т₂ = ^𝜋/₁ = π.

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на  2  и на  π  одновременно получались бы целые числа.

ПРИМЕР:

Найти период функции:

y = sin 3x + соs 5х.

РЕШЕНИЕ:

Период функции

y = sin 3x

равен  Т₁ = ^2π/₃,

а период функции

y = соs 5х

равен   Т₂ = ^2π/₅.

Приведём к общему знаменателю периоды:

Т₁ = ^10π/₁₅,  Т₂ = ^6π/₁₅.

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет:

НОК (10π; 6π) = 30π.

Теперь найдём период заданной функции:

Т = ^30π/₁₅ = 2π.

Задания к уроку 5

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований