Урок 16. Віднімання звичайних дробів

пятница, 5 сентября 2014 г.

Урок 16. Віднімання звичайних дробів

ВИДЕО УРОК

Віднімання дробів визначається так само, як і віднімання цілих чисел. Це є дія, за допомогою якого по даній сумі двох доданків і одному з них відшукується інше доданок. Віднімання дробів можна уявити як дію, зворотне додаванню дробів. Відняти від одного дрібного числа друге – значить знайти третє число, яке в сумі з другим дасть перше.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Спочатку наведемо приклад, який дозволить нам з'ясувати, як проводиться віднімання дробів з однаковими знаменниками.

ПРИКЛАД:

Нехай на тарілці знаходилося п'ять восьмих часток яблука, тобто, ⁵/₈ яблука. Після чого дві восьмих частки забрали. За змістом віднімання, вказане дію можна записати так:

Зрозуміло, що при цьому на тарілці залишається
5 – 2 = 3 восьмих частки яблука, тобто

Розглянутий приклад ілюструє правило віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Щоб відняти дріб з дробу з однаковими знаменниками, потрібно відняти чисельник від'ємника з чисельника зменшуваного і залишити колишній знаменник.

Озвучене в основному за рахунок букв записується так:

Цю формулу і будемо використовувати при відніманні дробів з однаковими знаменниками.

ПРИКЛАД:

Виконайте віднімання звичайного дробу ¹⁷/₁₅ зі звичайної дроби
²⁴/₁₅.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаменники віднімаються дробів рівні. Чисельник зменшуваного дорівнює 34, а чисельник від'ємника дорівнює 17, їх різниця дорівнює:

24 – 17 = 7.

Тому віднімання дробів з однаковими знаменниками ²⁴/₁₅ і ¹⁷/₁₅ дає
дріб ⁷/₁₅.

Короткий варіант рішення виглядає так:

ВІДПОВІДЬ: ⁷/₁₅

При можливості потрібно проводити скорочення дробу і (або) виділення цілої частини з неправильного дробу, яка виходить при відніманні дробів з однаковими знаменниками.

ПРИКЛАД:

Обчисліть різницю:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося формулою вирахування дробів з однаковими знаменниками.

Очевидно, що чисельник і знаменник отриманої дробу діляться на два, тобто дріб ²²/₁₂ – скоротна дріб. Виконавши скорочення цього дробу на 2, приходимо до дробу ¹¹/₆.
Дріб ¹¹/₆ неправильна, тому з неї потрібно виділити цілу частину.

Отже, що обчислюється різниця дробів з однаковими знаменниками дорівнює 1⁵/₆.
Короткий варіант рішення виглядає так:

ВІДПОВІДЬ: 1⁵/₆

ПРИКЛАД:

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Віднімання дробів з різним и знаменниками зводиться до віднімання дробів з однаковими знаменниками. Для цього дробу з різними знаменниками досить привести до спільного знаменника.

Щоб відняти дріб з дробу з різними знаменниками, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, потім з чисельника зменшуваного відняти чисельник від'ємника і під їх різницею підписати спільний знаменник.

ПРИКЛАД:

Відніміть від звичайного дробу ²/₉ звичайну дріб ¹/₁₅.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як знаменники віднімаються дробів різні, то спочатку виконаємо приведення дробів до найменшого спільного знаменника. Так як

НОК (9; 15) = 45,

то додатковим множником дробу ²/₉ є число:

45 : 9 = 5,

а додатковим множником дробу ¹/₁₅ є число:

45 : 15 = 3,

тоді

Залишилося відняти від дробу ¹⁰/₄₅ дріб ³/₄₅, отримуємо

що і дає нам шукану різницю дробів з різними знаменниками.
Короткий рішення записується так:

ВІДПОВІДЬ: ⁷/₄₅

Не слід забувати про скорочення отриманої після вирахування дробу, а також про виділення цілої частини.

ПРИКЛАД:

Відніміть з дробу ¹⁹/₉ дріб ⁷/₃₆.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Після приведення дробів з різними знаменників до найменшого спільного знаменника 36, отримаємо дробу ⁷⁶/₃₆ і ⁷/₃₆. Знаходимо їх різницю:

Отримана дріб скорочена, після її скорочення на 3, отримуємо ²³/₁₂. А ця дріб неправильна, тому, виділивши з неї цілу частину, отримаємо 1¹¹/₁₂. Короткий рішення записується так:

ВІДПОВІДЬ: 1¹¹/₁₂

ПРИКЛАД:

Віднімання змішаних дробів.

Щоб відняти змішані числа, спочатку наведемо дробові частини зменшуваного і від'ємника до найменшого спільного знаменника. Потім віднімемо ціле з цілого і дріб з дробу.

ПРИКЛАД:

Знайти різницю:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ: 4¹³/₂₂

ПРИКЛАД:

Але бувають випадки, коли дрібна частина від'ємника більше дробової частини зменшуваного. У таких випадках потрібно взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздрібнити її в ті частки, в яких виражена дрібна частина, і додати до дробової частини зменшуваного. А потім віднімання буде виконуватися так само, як віднімання мішаних чисел.
ПРИКЛАД:

У разі, коли дріб від'ємника більше, ніж дріб зменшуваного, надходять у такий спосіб: беруть одну одиницю (ціле) з цілого числа зменшуваного, записують його як неправильну дріб, чисельник і знаменник якої рівні між собою і дорівнюють знаменника дробової частини, і додають до дробової частини, далі забирають дві змішані дроби.

ПРИКЛАД:

Виконати віднімання:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дріб ⁴/₉ менше ніж дріб ¹¹/₁₂ так як

4 ∙ 12 = 36 < 9 ∙ 11 = 99,

тоді

ВІДПОВІДЬ: 3¹⁹/₃₆

Віднімання звичайного дробу з натурального числа.

Віднімання звичайного дробу з натурального числа можна звести до віднімання звичайних дробів, представивши натуральне число як дріб.

ПРИКЛАД:

Відніміть звичайну дріб ⁵/₃ від натурального числа 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Уявімо число 7 як дріб ⁷/₁, після чого виконаємо віднімання:

Виділивши цілу частину з отриманої дробу, отримуємо остаточну відповідь.

ВІДПОВІДЬ: 5¹/₃

Розглянемо ще приклад на віднімання змішаного числа з натурального числа.

ПРИКЛАД:

Але існує більш раціональний спосіб віднімання дробу з натурального числа. Його переваги помітні тоді, коли зменшуване натуральне число і знаменник віднімається дробу є великими числами. Якщо віднімається дріб правильна, то зменшуване натуральне число можна замінити сумою двох чисел, одне з яких дорівнює одиниці, відняти правильну дріб від одиниці, після чого завершити обчислення.

ПРИКЛАД:

Знайти різницю:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виконаємо віднімання дробів за описаним вище правилом:

ВІДПОВІДЬ: ²/₅

ПРИКЛАД:

Виконайте віднімання звичайного дробу ¹³/₆₂ з натурального числа 1065.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Віднімається звичайна дріб – правильна. Замінимо число 1065 сумою

1064 + 1,

При цьому отримаємо:

Залишилося обчислити значення отриманого виразу. В силу властивостей віднімання, отриманий вираз можна переписати так:

Обчислимо значення різниці в дужках, замінивши одиницю дробом, ¹/₁:

Короткий рішення записується так:

ВІДПОВІДЬ: 1064⁴⁹/₆₂

Розглянемо ще приклад на віднімання змішаного числа з цілого числа.

ПРИКЛАД:

Якщо ж віднімається дріб неправильна, то її можна замінити змішаним числом, після чого провести віднімання змішаного числа з натурального числа.

ПРИКЛАД:

Відніміть звичайну дріб ⁷³/₅ від натурального числа 644.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виділимо цілу частину з неправильного дробу:

Тоді

ВІДПОВІДЬ: 629²/₅

Віднімання натурального числа з звичайного дробу.

Віднімання натурального числа з дробу можна звести до віднімання звичайних дробів. Для цього достатньо уявити натуральне число у вигляді дробу зі знаменником 1.

ВІДПОВІДЬ: ²⁰/₂₁

Віднімання натурального числа з неправильного дробу зручніше проводити, представивши дріб у вигляді змішаного числа.

ПРИКЛАД:

Відніміть число 3 від дробу ⁸³/₂₁.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку виділимо цілу частину з неправильного дробу ⁸³/₂₁, отримаємо:

тоді

Залишилося провести віднімання натурального числа з змішаного числа:

ВІДПОВІДЬ: ²⁰/₂₁

Поширення властивостей віднімання на дробові числа.

Всі закони і властивості віднімання натуральних чисел справедливі і для дробових чисел. Їх застосування в багатьох випадках значно спрощує процес обчислення.

Замість того, щоб відняти суму дробів, можна відняти кожний доданок послідовно, і назад: замість того, щоб вичитати кожне число послідовно, можна відняти відразу їх суму.

ПРИКЛАД:

Обчисліть значення виразу: