Урок 4. Вычитание целых чисел

Чтобы вычесть одно целое число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

ПРИМЕР:

(–3) – (+8) =

(–3) + (–8) = –11, 

–7 – (–4) =

–7 + (+4) = –3.

Вычитание целых чисел заменяется сложением. Поэтому вычитание целых чисел всегда возможно.

Алгебраическая сумма.                       

Так как вычитание целых чисел можно заменить сложением, то каждое выражение, состоящее из нескольких сложений и вычитаний, можно подать в виде суммы чисел с теми же абсолютными величинами. Поэтому на такие выражения можно смотреть как на суммы. Их называют алгебраическими суммами.

ПРИМЕР:

3 + 4 – 7, 

(–2) + (–7) + (+8) – (–4), 

a + b – c + d.

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками имеет такой же смысл как и вычитание положительных чисел. Напомним, что с помощью вычитания находят неизвестное слагаемое по известной сумме и одним из слагаемых.

ПРИМЕР:

Поскольку 

–7 + (–8) = –15,  то 

–15 – (–8) = –7.

Чтобы от одного числа отнять другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Это правило вычитания можно записать так:

a – b = a + (–b).

где  а  и  b – любые целые числа.

Отдельно:   

а – а = а + (–а) = 0.

Так как вычитание можно заменить сложением противоположного числа, то любое выражение, которое содержит действия сложения и вычитания, можно записать как сумму.

ПРИМЕР:

Выражение   –10 – 7  разность чисел  –10  и  7, его можно записать как сумму чисел  –10  и  –7, или  

–10 – 7 = –10 + (–7). 

Справедливо и наоборот: сумму чисел  –10  і  –7  можно записать как разность чисел  –10  і  7, то есть  

–10 + (–7) = –10 – 7. 

Пусть на координатной прямой задано две точки  А(–2)  и  С(5)  и надо найти длину отрезка  АС. Чтобы найти длину отрезка  АС  (или расстояние  АС), необходимо определить, сколько единичных отрезков содержит этот отрезок. Как видно из рисунка, длина отрезка  АС  равна  7  единичным отрезкам. Через координаты концов отрезка  АС  его длина выражается так:

АС = 5 – (–2) = 7.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, необходимо от координаты его правого конца отнять координату левого конца.

Раскрытие скобок.                                   

Выражение 

a + (b + c) 

можно записать без скобок:

a + (b + c) =

a + b + c.

Эту операцию называют раскрытием скобок.

Раскроем скобки в выражении 

a + (–b + c).

Поскольку 

–b + c = (–b) + c,

то выражение 

a + (–b + c) 

можно записать так:

a + ((–b) + c).

Тогда:

a + (–b + c) =

a + ((–b) + c)

= a + (–b) + c

= a – b + c.

Получаем:

a + (–b + c) = a – b + c.

Выражение 

a – b + c  

можно получить из выражения 

a + (–b + c)  так:

опустить скобки и знак  << + >>, что стоит перед ними, и записать все слагаемые, которые были в скобках, со своими знаками.

Для выражения 

a + (b + c) 

это правило тоже справедливо, так как

a + (b + c) = a + (+b + c) 
= a + b + c.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак  << + >>, нужно опустить скобки и знак  << + >>, который стоит перед ними, и записать все слагаемые со своими знаками.

ПРИМЕР:

Рассмотрим  число  –6  и  4  и противоположные им числа  6  и  –4. Найдём число, противоположное сумме данных чисел:

–(–6 + 4) = –(–2) = 2.

Число, противоположное сумме чисел, равно сумме противоположных чисел:

–(–6 + 4) = 6 + (–4).

Это утверждение правильно для любых целых чисел  a  и  b, то есть:

–(a + b) = –a + (–b), или 

–(a + b) = –a – b.

Воспользовавшись правилом вычитания, имеем:

a – (b + c) =

a + (–(b + c))

= a + (–b – c)

= a – b – c.

Или:

a – (b + c) = a – b – c.

Видим, что выражение 

a – b – c 

можно получить из выражения 

a – (b + c)  так:

опустить скобки и знак  << – >>, что стоить перед ними, и записать все слагаемые, которые были в скобках, с противоположными знаками.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми  стоит знак   << – >>, необходимо опустить скобки и знак  << – >>, который стоит перед ними, и записать все слагаемые с противоположными знаками.

Воспользовавшись этим правилом, имеем:

a – (b – c) = a – (+b – c) 

= a – b + c.

Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Целые числа
• Урок 2. Абсолютная величина числа
• Урок 3. Сложение целых чисел
• Урок 5. Умножение целых чисел
• Урок 6. Деление целых чисел
• Урок 7. Определение значения выражений, которые находятся под знаком абсолютной величины 
• Урок 8. Степень целого положительного числа с натуральным показателем
• Урок 9. Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем
• Урок 10. Степень целого положительного числа с целым показателем
• Урок 11. Степень целого отрицательного числа с целым показателем
• Урок 12. Деление степеней целых чисел с натуральным показателем
• Урок 13. Деление степеней целых чисел с целым показателем
• Урок 14. Стандартный вид числа
• Урок 15. Рациональные числа 
• Урок 16. Сложение рациональных чисел
• Урок 17. Вычитание рациональных чисел 
• Урок 18. Умножение рациональных чисел
• Урок 19. Деление рациональных чисел 
• Урок 20. Бесконечные периодичкские десятичные дроби
• Урок 21. Степень рационального положительного числа с натуральным показателем
• Урок 22. Степень рационального отрицательного числа с натуральным показателем
• Урок 23. Степень рационального положительного числа с целым показателем
• Урок 24. Степень рационального отрицательного числа с целым показателем
• Урок 25. Деление степеней рациональных чисел с целым показателем