Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами

среда, 3 февраля 2016 г.

Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами

Рівняння – одне з найважливіших понять у математиці, а й у багатьох прикладних науках.

Два числа або будь-яки вирази, сполучені знаком рівності (=), утворюють рівність.

Рівняння – це рівність, що містить невідомі числа, позначені літерами і вірно лише за підстановці деяких певних значень.

Корінь рівняння – це значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильне числове рівність. Вирішити рівняння означає знайти все його коріння або довести, що коріння немає.

Лінійне рівняння з однією змінною – це рівняння виду

де х – змінна, a і b – деякі числа.

Якщо a = b = 0, це рівняння має нескінченно багато рішень

Якщо a не дорівнює 0, це рівняння має один корінь: x = b/a

Якщо a = 0 і b не дорівнює 0, то це рівняння не має коріння.

Рівняння першого степеня.

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок і зведення подібних членів набуває вигляду

аx + b = 0,

де a ≠ 0 і b – довільні числа, а х – невідоме, називається рівнянням першого степеня з одним невідомим.

Вигляд рівняння аx + b = 0 при a ≠ 0 називається нормальним виглядом рівняння першого степеня з одним невідомим. Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок і зведення подібних членів набуває вигляду аx + b = 0, де a ≠ 0 і b – довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Кожне рівняння першого степеня – лінійне, але не кожне лінійне рівняння є рівнянням першого степеня.

ПРИКЛАД:

Всі рівняння:

2х + 3 = 7 – 0,5х;

0,3у = 0;

^х/₂ + 3 = ¹/₂(х – 2).

Лінійні, але тільки два перші є рівняннями першого степеня.

Рівняння першого степеня з одним невідомим завжди має один розв’язок;

лінійне рівняння може не мати розв’язків

(0х = 5)

або мати їх нескінченну множину

(0х = 0).

Розв’язання рівнянь.

Якщо в рівняння з одним невідомим замість невідомого підставити якесь число, виражене цифрами або буквами, і в результаті ліва частина тотожно дорівнюватиме правій, то кажуть, що дане число (значення невідомого) задовольняє рівняння. В протилежному випадку кажуть, що воно не задовольняє рівняння.

Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або встановити, що рівняння не має жодного кореня.

Для знаходження невідомого доданка треба від суми відняти відомий доданок.

Для знаходження невідомого зменшуваного треба до різниці долати від’ємник.

Для знаходження невідомого від’ємника треба від зменшуваного відняти різницю.

Для знаходження невідомого множника треба добуток поділити на відомий множник.

Для знаходження невідомого діленого треба частку помножити на дільник.

Для знаходження невідомого дільника треба ділене поділити на частку.

Рівняння, що містять дужки, розв’язують за тими самими правилами.

Рівняння може зовсім не мати розв’язків,

ПРИКЛАД:

Рівняння

2х + 5 = 2(х + 6)

не має коріння, тому що при будь-якому х значення виразу 2х + 5 менше відповідного значення виразу 2(х + 6) на 7. Якщо ми вирішуватимемо це рівняння, то отримаємо: 2х + 5 = 2х + 12 або 2х – 2х = 12 – 5 або 0 ∙ х = 7. Рівність 0 ∙ х = 7 не є правильною ні за яких значень х. Безліч коренів рівняння пусте.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х² + 1 = 0

не має дійсних коренів.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х + 8 = х + 5

не має розв’язків, бо при будь-яких дійсних значеннях х ліва частина більша за праву.

Мати єдиний розв’язок,

ПРИКЛАД:

Рівняння

3х + 2 = 11

має єдиний корінь х = 3.

ПРКЛАД:

Рівняння

х + 5 = 8

має єдиний корінь 3.

ПРИКЛАД:

Рівняння

3 + х = 7

має єдиний корінь 4, тому що при цьому і тільки при цьому значенні змінної рівність 3 + х = 7 є вірною.

Кілька розв’язків.

ПРИКЛАД:

Рівняння

(х – 1)(х – 2) = 0

має два корені: 1 і 2.

ПРИКЛАД:

Рівняння

(х + 2)(х – 1)(х – 7) = 0

має три корені: –2; 1; 7, тому що кожне з цих чисел звертає рівняння у правильну рівність, а при всіх інших значеннях х жоден з множників не дорівнює нулю, а значить, і їх добуток не дорівнює нулю.

Нескінченну множину розв’язків.

ПРИКЛАД:

Коренем рівняння

3(5х + 10) = 30 + 15х

є будь-яке значення х, тому що вирази 3(5х + 10) і 30 + 15х тотожно рівні. Розв'язавши рівняння отримаємо 0 ∙ Х = 0. Добуток 0 ∙ Х дорівнює нулю при всіх значеннях Х.

ПРИКЛАД:

Рівняння

5(х – 3) + 2 = 3(х – 4) + 2х – 1

задовольняється при будь-якому значенні х, тобто є тотожністю.

Щоб виконати перевірку знайдених розв’язків рівняння, необхідно в рівнянні замість невідомого підставити знайдене значення. Якщо одержана числова рівність правильна, то знайдене число є коренем рівняння; якщо одержана числова рівність неправильна, то знайдене число не є коренем рівняння.

Значення виразу залежить від значення літери, яка входить до виразу. Якщо вираз зі змінними підставити замість кожної змінної якесь її значення, то вийде числове вираз. Його значення називають значенням виразу із змінними при вибраних значеннях змінних. Вирази зі змінними використовуються для запису формул.

Невідоме позначають буквою, наприклад, х, у тощо. В рівнянні можуть бути букви, що не є невідомими (параметри). Вирази, що стоять у рівнянні зліва і справа від знака рівності, називають відповідно лівою і правою частинами рівняння.

ПРИКЛАД:

Можна вважати, що рівняння

ах + 3 = с

має одне невідоме х і параметри а і с.

ПРИКЛАД:

Візьмемо два вирази

3х і х + 8.

Прирівняємо їх один до одного і визначимо, за якого значення х ці вирази рівні.

3х = х + 8; 3х – х = 8; або

2х = 8; звідки х = 4.

Вираз 3х = х + 8 називається рівнянням, а число 4 – корінь рівняння. Нагадаємо, що коренем рівняння з однією змінною називається те значення змінної, при якому рівняння звертається до правильної рівності.

Рівносильні рівняння.

Два рівняння називають рівносильними (або еквівалентними), якщо всі розв’язки другого рівняння є розв’язками першого.

Рівносильними вважаються також рівняння, що не мають розв’язків. В результаті таких перетворень завжди отримуємо рівняння, рівносильне попередньому.

ПРИКЛАД:

Якщо в рівняння

3х + 7 = 13

заміст х підставити число 2, одержимо тотожність

3 × 2 + 7 = 13.

Отже, значення х = 2 задовольняє дане рівняння, число 2 є розв’язок, або корінь цього рівняння. А значення х = 3 не задовольняє це рівняння, бо

3 × 3 + 7 ≠ 13.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х + 2 = 5 і

х + 5 = 8

рівносильні, оскільки кожне має єдиний корінь – число 3.

ПРИКЛАД:

Рівносильні рівняння

х² + 1 = 0 і

2х² + 5 = 0

– жодна з них не має коріння.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х – 5 = 1 і х² = 36

нерівносильні, тому що перше має тільки один корінь 6, тоді як друге має два корені: 6 і –6.

ПРИКЛАД:

Рівняння

2х – 5 = 11 і

7х + 6 = 62

рівносильні, бо вони мають той самий корінь х = 8.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х + 2 = 2(х + 1) – х і 3х =

= 3(х – 1) + 3

рівносильні, бо будь-яке значення х задовольняє і перше і друге рівняння.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х + 2 = х + 51 і

2х + 7 = 2х

рівносильні, бо вони обидва не мають розв’язків.

У процесі розв'язання рівняння його намагаються замінити більш простим, але рівносильним даному. Тому важливо знати, за яких перетворень дане рівняння переходить у рівносильне йому рівняння.

Основні властивості рівнянь.

До обох частин рівняння можна додати будь-який вираз, що має смисл при всіх допустимих значеннях невідомого; одержане рівняння рівносильне до даного.

Зокрема, якщо до обох частин рівняння додати те саме число або многочлен, то нове рівняння буде рівносильне до даного.

ПРИКЛАД:

Рівняння

2х – 1 = 7

має корінь х = 4; додавши до обох частин по 5, одержимо рівняння

2х + 4 = 12,

яке має той самий корінь х = 4.

Якщо в обох частинах рівняння є однакові члени, то їх можна опустити.

ПРИКЛАД:

Рівняння

9х + 5х = 18 + 5х

має один корінь х = 2; опустивши в обох частинах 5х, одержимо рівняння

9х = 18,

яке має той самий корінь х = 2.

У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки та скласти подібні члени, якщо вони є.

ПРИКЛАД:

Вирішити рівняння:

2х – 3 + 4(х – 1) = 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Послідовно розкриємо дужки, приведемо подібні члени і знайдемо х.

2х – 3 + 4х – 4 = 5,

2х + 4х = 5 + 3 + 4,

6х = 12, х = 2.

ВІДПОВІДЬ: 2

ПРИКЛАД:

Вирішити рівняння:

2х – 3 + 2(х – 1) = 4(х – 1) – 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Послідовно розкриємо дужки, приведемо подібні члени і знайдемо х.

2х – 3 + 4х – 4 = 5,

2х + 2х – 4х = –4 – 7 + 3 + 2,

0 × х = –6.

ВІДПОВІДЬ: ∅

ПРИКЛАД:

Вирішити рівняння:

2х + 3 – 6(х – 1) =

= 4(1 – х) + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Послідовно розкриємо дужки, приведемо подібні члени і знайдемо х.

2х – 6х + 3 + 6 =

= 4 – 4х + 5,

– 4х + 9 = 9 – 4х,

– 4х + 4х = 9 – 9,

0 × х = 0.

ВІДПОВІДЬ: будь-яке число

– будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

ПРИКЛАД:

Рівняння

7х – 11 = 3

має один корінь х = 2. Якщо перенести 11 в праву частину з протилежним знаком, одержимо рівняння

7х = 3 + 11,

яке має той самий розв’язок х = 2.

ПРИКЛАД:

Рівняння

х² + 2 = 3х.

рівносильне рівнянню

х² + 2 – 3х = 0.

Обидві частини рівняння можна помножити на будь-який вираз, що мав смисл і відрізняється від нуля при всіх допустимих значеннях невідомого; одержане рівняння рівносильне до даного.

Зокрема, якщо обидві частини рівняння помножити на те саме число, що не дорівнює нулеві, то одержимо рівняння, рівносильне до даного.

ПРИКЛАД:

Рівняння

2х – 15 = 10 – 3х

має корінь х = 5. Помноживши обидві частини на 3, одержимо рівняння

(2х – 15) × 3 =

= (10 – 3х) × 3, або

6х – 45 = 30 – 9х,

яке має той самий корінь х = 5.

ПРИКЛАД:

Рівняння

рівносильне рівнянню х² – 1 = 6х (обидві частини першого рівняння помножили на 3).

Іноді доводиться множити обидві частини рівняння на якийсь вираз, що містить невідоме. В результаті можна одержати рівняння, не рівносильне до даного.

– рівняння можна скоротити (поділити всі його члени на те саме число).

Ділення на будь-яке число, що відрізняється від нуля, можна розглядати як множення на число, обернене до даного. Тому обидві частини рівняння можна також і поділити на те саме число, що відрізняється від нуля.

– знаки всіх членів рівняння можна змінити на протилежні (це рівносильне до множення обох частин рівняння на –1).

ПРИКЛАД:

Рівняння

–3х + 7 = –8

після множення обох частин на –1 набуде вигляду

3х – 7 = 8.

Перше і друге рівняння мають єдиний корінь х = 5.

Перетворюючи рівняння згідно з названими властивостями і наслідками, ми щоразу одержуємо нове, простіше рівняння, рівносильне до даного. Таким способом можна прийти до дуже простого рівняння, корені якого визначити не важко. А оскільки одержане рівняння рівносильне до даного, то й корені його є не що інше, як корені даного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

78 + х = 100.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо відоме правило знаходження невідомого доданка:

щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок.

Маємо:

х = 100 – 78 = 22.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

х – 34 = 82.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо відоме правило знаходження невідомого зменшуваного:

щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від’ємник.

Маємо:

х = 82 + 34 = 116.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

108 – х = 96.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо відоме правило знаходження невідомого від’ємника:

щоб знайти невідомий від’ємник, треба до зменшуваного відняти різницю.

Маємо:

х = 108 – 96 = 12.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х – 124) + 316 = 900.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо відоме правило знаходження невідомого доданка, отримуємо:

х – 124 = 900 – 316 = 584.

Далі застосовуємо правило знаходження невідомого зменшуваного:

х = 584 + 124 = 708.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

1000 – (537 – х) = 642.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо двічі правило знаходження невідомого від’ємника:

537 – х = 1000 – 642 = 358,

х = 537 – 358 = 179.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

12х = 84.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо правило знаходження невідомого множника:

щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник.

Маємо:

х = 84 : 12 = 7.

ПРИКЛАД:

Знайдіть корінь рівняння:

2х – 14 = 56.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х – 14 = 56,

2х = 56 + 14,

2х = 70, х = 35.

ПРИКЛАД:

Знайдіть корінь рівняння:

4х – 14 = 26.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

4х – 14 = 26,

4х = 26 + 14,

4х = 40, х = 10.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

х : 21 = 16.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо правило знаходження невідомого діленого:

щоб знайти невідоме ділене, треба дільник помножити на частку.

Маємо:

х = 21 ∙ 16 = 336.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

576 : х = 18.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо правило знаходження невідомого дільника:

щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку.

Маємо:

х = 576 : 18 = 32.

ПРИКЛАД:

Яке з чисел

3; 12; 14

є коренем рівняння

2х – 5 = 23 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х – 5 = 23,

2х = 23 + 5, 2х = 28,

х = 28 : 2, х = 14.

ПРИКЛАД:

Розв’яжемо рівняння:

8х + 3 = 10х – 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо з протилежними знаками доданок 10х з правої частини рівняння в ліву, а доданок 3 з лівої частини в праву:

8х – 10х = – 7 – 3.

Спростимо ліву і праву частини рівняння:

–2х = –10.

Тепер поділимо обидві частини рівняння на –2:

х = 5.

Перевіримо знайдену відповідь:

8 ∙ 5 + 3 = 10 ∙ 5 – 7.

Утворена рівність правильна, бо значення кожної ії частини дорівнює 43. Отже, коренем заданого рівняння є число 5.

Це рівняння можна розв’язати інакше:

8х + 3 = 10х –7,

3 + 7 = 10х – 8х,

10 = 2х, 5 = х,

тобто х = 5.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х – 4)(х + 5) = х².

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х – 4)(х + 5) = х²,

х² + х – 20 = х²,

х – 20 = 0, х = 20.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

(х – 6)(х + 7) = х².

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(х – 6)(х + 7) = х²,

х² – 6х + 7х – 42 = х²,

х – 42 = 0, х = 42.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

1 – 2(х – 1) = х + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 – 2(х – 1) = х + 3,

1 – 2х + 2 = х + 3,

2х + х = 1 + 2 – 3,

3х = 0, х = 0.

Завдання до уроку 1

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 3 февраля 2016 г.