Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції

четверг, 30 сентября 2021 г.

Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції

ВІДЕО УРОК

Зміна тригонометричних функцій зі зміною кута від 0° до 90°.

Розглянемо коло довільного радіуса з центром в точці А.

Нехай радіус АВ становить з радіусом АD гострий кут α:

∠ DАВ = α.

Опустимо з точки В перпендикуляр ВС на АD. З прямокутного трикутника АВС маємо:

Будемо обертати радіус АВ навколо центру А так, щоб кут змінювався від 0° до 90°. На кресленні зафіксовано кілька положень рухомого радіуса:

АВ₁, АВ₂, АВ₃, …

Побудуємо відповідні цим положенням радіусу прямокутні трикутники:

∆ АВ₁С₁, ∆ АВ₂С₂, ∆ АВ₃С₃ ...

Гіпотенузи всіх цих трикутників, незалежно від величини кута α, рівні радіусу взятої окружності, катети ж зі зростанням кута α будуть змінюватися. Катет, протилежні кутку α, буде збільшуватися зі зростанням кута α, а катет прилегла, – зменшуватися. Звідси робимо висновок, що синус гострого кута α зі зростанням кута α від 0° до 90° зростає, а косинус – убуває.

Щоб простежити за зміною тангенса гострого кута, візьмемо прямокутний трикутник АВС
з гострим кутом α.

Нехай катет АС залишається незмінним, а кут α збільшується від 0° до 90°. При зростанні кута α протилежні йому катет збільшується

(АВ₁ < АВ₂ < АВ < АВ₃ …),

отже, зростає і tg α так як катет АС залишається без зміни.

Значення функції сtg α є числами зворотними по відношенню до відповідних значень функції tg α, і так як останній зі зростанням кута α від 0° до 90° зростає, то, отже, функція сtg α зі зростанням гострого кута зменшується.

Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції за допомогою гострого кута.

З визначення sin α і cos α слід, що синус і косинус гострого кута α – позитивні числа, менші одиниці.

0 < sin α < 1,

0 < cos α < 1,

де α – гострий кут.

Яке б не було позитивне число у, менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, синус якого дорівнює у:

sin α = у.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, синус якого дорівнює ³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На довільній прямій відкладемо відрізок DЕ = 3.
Через точку Е проводимо пряму ЕF ⊥ DЕ. Побудуємо коло радіуса 4 з центром в точці D.
Нехай К – точка перетину цієї окружності з прямою ЕF. Тоді кут ЕКD – шуканий кут α, так як синус його дорівнює
Яке б не було позитивне число x, менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, косинус якого дорівнює х:

соs α = х.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, косинус якого дорівнює ²/₅.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На довільній прямій відкладемо відрізок ВС = 2.
Через точку С проводимо пряму СМ ⊥ ВС. Побудуємо коло радіуса 5 з центром в точці В.
Нехай А – точка перетину цієї окружності з прямою СМ. Тоді косинус кута АВС дорівнює
Отже, кут АВС – шуканий кут α.

Яке б не було позитивне число р, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, тангенс якого дорівнює р:

tg α = р.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, тангенс якого дорівнює ²/₃.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На одній стороні прямого кута МОN,
наприклад на ОМ, відкладаємо від вершини Про відрізок ОА = 3, а на іншій стороні – відрізок ОВ = 2. З'єднуємо точки А і В. Тангенс кута ОАВ дорівнює ²/₃, отже кут ОАВ = α.

Яке б не було позитивне число q, існує, і до того ж тільки один, гострий кут α, котангенс якого дорівнює q:

ctg α = q.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, котангенс якого дорівнює 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На сторонах прямого кута LKM,
відкладаємо відрізки КА і КС, з яких, наприклад, перший (КА) в три рази більше другого (КС). З'єднуємо точки А і С. Котангенс кута КАС дорівнює 3, отже кут КАС = α.

Вираз тригонометричних функцій через одну з них за допомогою гострого кута.

ПРИКЛАД:

Знайдемо значення синуса, косинуса, тангенса й котангенс кута

^2π/₃.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точки
неважко знайти, скориставшись властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°.

Тому
Аналогічно знаходять значення синуса, косинуса, тангенса й котангенса кутів, зазначених у верхньому рядку такої таблиці:

Значення синуса, косинуса, тангенса та котангенса деяких кутів.
Покажемо на прикладі, як знаходяться наближені чисельні значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс для якого-небудь кута.

ПРИКЛАД:

Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута 48°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо за допомогою лінійки і транспортира кут α, що дорівнює 48°. На одній стороні цього кута від його вершини А
відкладемо відрізок АВ, що дорівнює, наприклад, 67 мм. З точки В на іншу сторону кута α опустимо перпендикуляр ВС. Ми отримали прямокутний трикутник АВС, у якого ∠ ВАС = 48°. Вимірявши катети ВС і АС, знайдемо:

ВС ≈ 49 мм,

АС ≈ 45 мм.

тоді маємо:

sin 48° ≈ ⁴⁹/₆₇ ≈ 0,73,

cos 48° ≈ ⁴⁵/₆₇ ≈ 0,67,

tg 48° ≈ ⁴⁹/₄₅ ≈ 1,09,

ctg 48° ≈ ⁴⁵/₄₉ ≈ 0,92.

Таким же шляхом можна знайти наближені значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс будь-якого гострого кута.

При цьому ступінь наближення буде залежати тільки від точності наших вимірів.

Побудова кута за данім значення його тригонометричної функції за допомогою одиничної окружності.

ЗАДАЧА:

Побудувати кут (дугу) α, синус якого дорівнює m.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Розглянемо три випадки.

Нехай |m| < 1.

В координатній площині хОу будуємо одиничне коло. На осі ординат знаходимо точку, що відповідає числу m. Через цю точку проводимо пряму, паралельну до осі абсцис, і точки перетину її з одиничним колом позначимо через А і В.
З’єднавши точки А і В з початком координат, одержуємо кути АОх і ВОх, синуси яких дорівнюють m. Ці кути визначаються не однозначно. Позначимо найменший додатний ∠ АОх, що визначається кінцевою стороною АО, через а₁, а найменший додатний ∠ ВОх, що визначається кінцевою стороною ОВ, через а₂. Тоді шуканий кут α визначається за рівностями

α = α₁ + 2πn і α = α₂ + 2πn

де n = 0; ±1; ±2; …

Нехай |m| = 1.

Тобто m = ±1, то прямі, проведені через точки (0; 1) і (0; –1) перпендикулярно до осі ординат, дотикатимуться до одиничного кола в точках, що відповідають найменшим додатним кутам

а шуканий кут α визначається за формулами

де n = 0; ±1; ±2; …

Нехай |m| ˃ 1.

То пряма, проведена перпендикулярно до осі ординат через точку (0; m), не перетинає одиничного кола.

У цьому випадку задача розв’язків не має.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких соs α = ³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На позитивній осі Ох відкладаємо від точки Про відрізок, рівний ³/₄ радіуса одиничному колі.
Для цього ділимо радіус ОЕ₁ на чотири рівні частини і відкладаємо на ньому від центру відрізок ОР, рівний трьом таким частинам. Відновимо в точці Р перпендикуляр до осі Ох до перетину його з одиничною окружністю в точках М і М'. Шукані кути – це кути, складені з віссю Ох будь-яким з побудованих рухомих радіусів ОМ або ОМ'. На кресленні зазначено лише два кути, косинус кожного з яких дорівнює ³/₄.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких соs α = –³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відрізок, що дорівнює ³/₄ радіуса одиничному колі, відкладаємо від точки О на негативній півосі Ох, а далі робимо, як в попередньому прикладі. На кресленні
відзначені лише два кути, косинус кожного з яких дорівнює –³/₄.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких sin α = –³/₅.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Введемо на площині прямокутну систему координат.
Ділимо радіус
одиничному колі на п'ять рівних частин, і відкладаємо на ньому від центру відрізок ОК, рівний трьом таким частинам. Через точку К проводимо пряму, паралельну діаметру
до перетину з одиничною окружністю. Отримаємо точки М і М ', ординати яких дорівнюють –³/₅.
Поєднуючи ці точки з початком координат, отримаємо радіуси ОМ і ОМ'. Синус будь-якого з кутів, складених з віссю Ох будь-яким з радіусів ОМ або ОМ', дорівнює –³/₅. На кресленні
відзначені два таких кута.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких tg α = 1,5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На осі тангенсів від одиничної точки Е₁ відкладаємо в позитивному напрямку відрізок Е₁Т, в 1,5 рази більший радіуса кола.
Якщо через точку Т і центр кола О провести пряму, то вона перетне одиничне коло в точках М і М'. Це – кінці рухомих радіусів, що утворюють з позитивним напрямком осі Ох кути, тангенси яких дорівнюють 1,5. На кресленні
відзначені два таких кута.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути α, для яких сtg α = –¹/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На осі котангенсів від Е₂ відкладаємо в негативному напрямку відрізок Е₂К, рівний половині радіуса кола.
Через кінець цього відрізка К і центр кола О проводимо пряму, що перетинає одиничну окружність в точках М и М'. Це – кінці рухомих радіусів, що утворюють з позитивним напрямком осі Ох кути, котангенс яких дорівнюють –¹/₂. На кресленні
відзначені два таких кута.

Геометричний висновок значень тригонометричних функцій.

Його корисно запам'ятати, так як часто доводиться знаходити значення sin α і соs α за значенням tg α.

ПРИКЛАД:

tg α = ²/₃.