Урок 32. Системи рівнянь з параметрами

ПРИКЛАД:

Знайдіть усі значення параметра а, при яких система має рівно чотири розв’язки:

Графік другого рівняння – квадрат вершини якого:

(2; 0), (–2; 0),

(0; 2), (0; –2),

бо для х ≥ 0, у ≥ 0 маємо:

х + у = 2.

А для інших сторін квадратів застосуємо симетрію. Графік першого рівняння – коло с центром у початку координат і радіусом |а|. Маємо:

Система має рівно 4 розв’язки, якщо коло вписано у квадрат, або коли коло описане навколо квадрата. У першому випадку:

у другому:

|а| = 2.

ВІДПОВІДЬ:

–2, –√͞2; √͞2, 2.

ПРИКЛАД:

При яких значеннях параметра m система рівнянь не має розв’язків ?

Система не має розв’язків, якщо виконуються співвідношення:

Тоді:

Звідки:

m + 1 ≠ 1, m ≠ 0.

(m + 1)(m – 2) = –2,

m² – m – 2 = –2,

m = 1, m = 0.

Тоді шукане m дорівнює 1.

ПРИКЛАД:

При яких значеннях параметра а система рівнянь

має нескінченно багато рішень ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З першого рівняння висловлюємо х:

х = –^а/₂у + ^а/₂ + 1.

Підставляємо це вираз у друге рівняння, отримуємо

(а + 1)(–^а/₂у + ^а/₂ + 1) + 2ау

= 2а + 4.

Далі помножимо обидві частини рівняння на 2 і спростимо його:

(а + 1)(а + 2 –ау) + 4ау

= 4а + 8,

4ау – а(а + 1)у =

4(а + 2) – (а + 1) (а + 2),

уа – (4 – а – 1) =

(а + 2) (4 – а – 1),

у∙ а (3 – а) = (а + 2) (3 – а),

Аналізуючи останнє рівняння, відзначимо, що при а = 3 воно має вигляд

0∙ у = 0,

тобто воно задовольняється за будь-яких значеннях у.

ВІДПОВІДЬ: 3

Завдання до уроку 32

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 2 декабря 2016 г.