Урок 35. Розвязання систем рівнянь способом заміни

У багатьох випадках спосіб введення нових змінних значно спрощує розв’язання системи рівнянь.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:

Нехай ^x/_y = z, тоді ^y/_x=¹/_z.

Маємо z + ¹/_z = ³⁴/₁₅;

15z² – 34z +15 = 0.

z₁ = ⁵/₃; z₁ = ³/₅.

Складаємо дві системи рівнянь:

Звідки знаходимо чотири розв’язки:

х₁ = 3, у₁ = 5;

х₂ = –3, у₂ = –5;

х₃ = 5, у₃ = 3;

х₄ = –5, у₄ = –3.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:

Помножимо обидві частини другого рівняння на 2 і додамо до першого:

х² + у² + 2ху + 2(х + у)

= 24.

Покладемо х + у = z, тоді

z²+ 2z – 24 = 0,

звідки z₁ = –6, z₂ = 4.

Одержуємо дві системи:

Які мають два дійсні розв’язки:

х₁ = 1, у₁ = 3;

х₂ = 3, у₂ = 1.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:

Зрівняємо модулі вільних членів:

і додамо одержані рівняння:

5х² – 19ху + 12у²= 0.

Оскільки у ≠ 0, то поділимо обидві частини цього рівняння на у²;
Покладаючи ^x/_y = u, одержимо рівняння:

5u²– 19u + 12 = 0.

Звідки

u₁= 3, u₂ = ⁴/₅.

Отже,

х = 3у і х = ⁴/₅у.

Підставивши значення х = 3у в одне з даних рівнянь, наприклад у друге, одержимо

у²= 3, у = ±√͞͞͞͞͞3,

звідки х = ± 3√͞͞͞͞͞3.

Якщо взяти х = ⁴/₅у,

то одержимо

х = ± 4; у = ± 5.

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = 3√͞͞͞͞͞3, у₁ = √͞͞͞͞͞3;

х₂ = –3√͞͞͞͞͞3, у₂ = –√͞͞͞͞͞3;

х₃ = 4, у₃ = 5;

х₄ = –4, у₄ = –5.

ПРИКЛАД:

Розв’язати систему:

Уведемо заміну:

х + у = t, xy = z.

Перетворимо ліву частину першого рівняння:

х⁴ + у⁴ = х⁴ + 2х²у² + у⁴ – 2х²у²

= (х²+ у²)² – 2z²

= (х²+ 2ху + у² – 2ху)² – 2z²

= ((х + у)² – 2z)² – 2z²

= (t² – 2z)² – 2z² = t⁴ – 4t²z + 2z².

Тоді одержимо:

Звідки перше рівняння можна переписати так:

t⁴ – 4t²× 2t + 2 × (2t)²

= 17t²,

t⁴ – 8t³– 9t² = 0,

t²(t² – 8t– 9) = 0,

яке має розв’язки

t₁ = 0, t₂ = –1; t₃ = 9.

Із рівності

z = 2t

маємо, що

z₁ = 0, z₂ = –2; z₃ = 18.

Тоді одержуємо три системи:

Звідки розв’язком є

(0; 0).

Звідки розв’язком є

(1; –2), (–2; 1).

Звідки розв’язком є

(3; 6), (6; 3).

ВІДПОВІДЬ:

(0; 0), (1; –2), (–2; 1),

(3; 6), (6; 3).

Завдання до уроку 35

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 31 декабря 2016 г.