Урок 3. Віднімання натуральних чисел

пятница, 15 августа 2014 г.

Урок 3. Віднімання натуральних чисел

ВИДЕО УРОК

Поняття про віднімання.

Розглянемо завдання.

ЗАДАЧА:

Скляр склив рами нового будинку. У перший день він склив 9 рам, а в другий день – інші 6 рам. Скільки рам він склив в течії двох днів ?

Це завдання вирішується за допомогою складання:

9 + 6 = 15.

Тут були дані два доданків 9 і 6 і по них вичислена їх сума.

Тепер змінимо наше завдання таким чином: скляр, який отримав замовлення склити рами в новому будинку, передусім поцікавився, скільки рам потрібно склити, і з'ясував, що їх 15; таким чином, сума була відома йому заздалегідь. Далі, коли він в перший день склив 9 рам, перед ним виникло питання: скільки рам йому залишається зробити завтра ?

В цьому випадку йому не потрібно робити складання, не потрібно шукати суму, оскільки він її знає, йому треба знайти залишок, і залишок знаходиться іншою дією, яка полягає в тому, щоб від цієї суми відлічити відомий доданок.

Розглянемо ще одне завдання.

ЗАДАЧА;

Від'їжджаючи на південь у відпустку, я узяв з собою 20 поштових конвертів. З півдня я відіслав 12 листів рідним і знайомим. Скільки у мене залишилося невикористаних конвертів ?

Неважко від загального числа конвертів (20) подумки відокремити число витрачених (12) і отримати залишок, тобто число конвертів, що залишилися невикористаними (8).

І в цьому завданні було дано загальне число предметів – їх сума (20), вказаний одно доданок, тобто число витрачених предметів (12), а вимагалося знайти число предметів, що залишилися, або другий доданок (8).

Часто доводиться з однієї множини вилучати її частину (із виготовлених деталей відкидають браковані, із збираних грибів відкидають червиві тощо).

Подібні завдання вирішуються відніманням. Отже:

ПРИКЛАД:

Учні одного класу зібрали в лісі гриби і відкинули червиві. Нехай чисельність грибів 82, а чисельність червивих грибів 15. Тоді чисельність грибів, які залишилися, визначається за допомогою віднімання:

82 – 15 = 67.

Відніманням називається дія, за допомогою якої за даною сумою і одним даним доданком знаходимо другий доданок.

Відняти від одного числа друге означає знайти таке третє число, яке в сумі з другим дає перше. Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Число, від якого віднімають, називається зменшуваним. Число, яке віднімають, називається від’ємником. Число, яке дістаємо в результаті дії, називається різницею.

ПРИКЛАД:

20 – 12 = 8.

Тут 20 – зменшуване, 12 – від’ємник, а 8 – різниця.

Знак << – >> (мінус) ставлять між зменшуваним і від’ємником. Віднімання є дія, яка можлива в тих випадках, коли від’ємник не більший від зменшуваного. Якщо порівняти віднімання з додаванням, то матимемо такий висновок: при додаванні даються доданки, а треба знайти суму, а при відніманні дається сума і один з доданків, а треба знайти другий доданок. Таким чином, число, яке при додаванні є шуканим, при відніманні буде даним, і навпаки. Тому віднімання називається дією, оберненою додаванню.

Віднімання нуля від числа не змінює цього числа.

ПРИКЛАД:

5 – 0 = 5.

Якщо зменшуване дорівнює від’ємникові, то різниця дорівнює нулеві.

ПРИКЛАД:

10 – 10 = 0.

Віднімання суми від числа.

Щоб відняти суму від числа, досить відняти від цього числа перший доданок, від знайденої різниці – другий доданок і т. д.

ПРИКЛАД:

25 – (13 + 5) =

25 – 5 – 13

= 20 – 13 = 7.

Позначимо зменшуване буквою а, окремі доданки суми, що віднімається, буквами b і с. Тоді властивість можна записати так:

Віднімання числа від суми.

Щоб відняти число від суми, досить відняти це число від якого-небудь одного доданка (припускаємо, що доданок більший від від’ємника) і одержану різницю додати до суми решти доданків.

ПРИКЛАД:

(36 + 27) – 16 =

(36 – 16) + 27 = 47.

(36 + 27) – 17 =

36 + (27 – 17) = 46.

Додавання різниці.

Щоб додати різницю до числа, досить додати до цього зменшуване і від знайденої суми відняти від’ємник.

ПРИКЛАД:

50 + (36 – 16) =

50 + 36 – 16 = 70, або

50 + 36 = 86,

86 – 16 = 70

Віднімання різниці.

Щоб відняти різницю від числа, досить відняти від нього зменшуване (якщо це можливо) і до знайденої різниці додати від’ємник.

У загальному вигляді це можна записати так:

ПРИКЛАД:

60 – (35 – 15) =

60 – 35 + 15 = 40.

Залежність між даними числами і результатами дій з ними.

Якщо відома сума двох доданків, а один доданок невідомий, то щоб знайти його, досить від суми відняти доданок, тобто якщо

a + b = c, то

а = с – b і

b = c – a.

Щоб знайти невідоме зменшуване, досить до від’ємника додати різницю,

тобто якщо

a – b = c, то

а = b + c.

Щоб знайти невідомий від’ємний, досить від зменшуваного відняти різницю,

тобто якщо

a – b = c, то

b = a – c.

Зміна суми і різниці.

Якщо один з доданків зменшити на якесь число, то на те саме число зменшиться і сума,

тобто якщо

a + b = c, то

(a – m) + b = c – m.

ПРИКЛАД:

18 + 12 = 30,

(18 – 5) + 12 = 30 – 5.

Якщо зменшуване зменшиться на якесь число, то й різниця зменшиться на те саме число,

тобто якщо

a – b = c, то

(a – m) – b = c – m.

ПРИКЛАД:

30 – 12 = 18,

(30 – 10) – 12

= 18 – 10.

Якщо від’ємник збільшити (зменшити) на якесь число, то різниця зменшиться (збільшиться) на те саме число, тобто якщо

a – b = c, то

a – (b + m)= c – m.

a – b = c, то

a – (b – m)= c + m.

ПРИКЛАД:

45 – 12 = 33, тоді

45 – (12 + 3) = 33 – 3.

52 – 30 = 22, тоді

52 – (30 – 10) = 22 + 10.

Якщо один доданок збільшити, а другий зменшити на те саме число, то сума не зміниться,

тобто якщо

a + b = c, то

(a + m) + (b – m) = c.

Якщо зменшуване і від’ємник збільшити (чи зменшити) на те саме число, то різниця не, зміниться,

тобто якщо

a – b = c, то

(a + m) – (b + m) = c.

a – b = c, то

(a – m) – (b – m) = c.

Віднімання трицифрових чисел.

ПРИКЛАД:

Візьмемо для віднімання трицифрові числа:

654 – 123

і, подавши її як суми розрядів:

(600 + 50 + 4) –
(100 + 20 + 3),

відніматимемо по розрядах:

(600 – 100) + (50 – 20) +
(4 – 3) = 500 + 30 +1 = 531.

Або в стовпчик:

ПРИКЛАД:

Тепер розглянемо складніший випадок:

782 – 437.

Складність його полягає в тому, що зменшуване містить 2 одиниці, а від’ємник 7 і, отже, від одиниць зменшуваного не можна відняти одиниць від’ємник. У цьому випадку роблять так: беруть, або, як кажуть, <<позичають>> у 8 десятків один десяток, він складається з 10 одиниць; якщо до них додати 2 одиниці, що є в нас, то дістанемо всього 12 одиниць. Віднімаючи від 12 одиниць 7, дістанемо 5 одиниць. Тепер треба відняти десятки. У нас у зменшуваному залишилося 7 десятків, бо один десяток ми роздробили в одиниці. Отже, від 7 десятків треба відняти 3 десятки, дістанемо 4 десятки. Залишається від 7 сотень відняти 4 сотні. Вийде 3 сотні. Запишемо це:

Над цифрою 8 поставлено крапку, яка має нагадувати про те, що від цього числа ми <<позичили>> одиницю. (Цю крапку можна не ставити).

Перевірка дій на основі залежності між даними і результатами дій.

Коли виконують багато обчислень, вдаються до контролю виконання арифметичних дій. Для цього найчастіше використовують основні закони арифметичних дій і залежності між даними і результатами дій.

Перевірка додавання відніманням.

ПРИКЛАД:

Правильність виконання додавання

243596 + 32483 = 276079

Можна перевірити додаванням (переставивши доданки) або відніманням:

276079 – 243596 = 32483.

Перевірка віднімання додаванням.

Віднімання можна перевірити додаванням на тій підставі, що зменшуване є сума, а від’ємник і різниця – доданки. Тому, щоб перевірити віднімання, треба додати від’ємник і різницю. Якщо результат дорівнюватиме зменшуваному, то цілком можливо, що дію виконано правильно.

Перевірка віднімання відніманням.

Оскільки зменшуване є сума, а від’ємник і різниця – доданки і, крім того, від переставляння доданків сума не змінюється, то, щоб перевірити віднімання, можна від зменшуваного відняти різницю. Якщо після цього дістанемо від’ємник, то цілком можливо, що віднімання виконано правильно.

Порядок дій.

При виконанні кількох дій результат залежить від даних чисел і від порядку виконання дій з ними.

ПРИКЛАД:

4 – 2 + 1 = 3.

Якщо виконувати дії у порядку їх запису;

Якщо ж спочатку додати 2 і 1 і відняти одержану суму від 4, то одержимо 1.

Для попередження непорозумінь вводяться умови, в якому порядку слід виконувати дії у виразі, записаному без дужок.

Додавання і віднімання називають діями першого ступеня. Якщо у вирази (без дужок) трапляються дії тільки першого ступеня, то їх виконують у тому порядку, в якому вони написані, зліва направо.

ПРИКЛАД:

10 – 3 + 4 + 2 =

7 + 4 + 2 = 11 + 3 = 13.

Способі швидкого додавання і віднімання.

СПОСІБ ОКРУГЛЕННЯ

Цей спосіб ґрунтується на зміні суми або різниці в залежності від зміни компонентів і застосовується у випадку, коли хоч би один з компонентів являє собою число, близьке до круглих десятків, сотень, тисяч і т. д.

Якщо один з доданків, округляючи, збільшити на кілька одиниць, то від одержаної суми треба відняти стільки ж одиниць.

ПРИКЛАД:

264 + 391 =

264 + (391 + 9) – 9

= 264 + 400 – 9 = 655.

Якщо один з доданків збільшимо на кілька одиниць, а другий зменшимо на стільки ж одиниць, сума не зміниться.

На підставі цього виконується округлення одного доданка за рахунок

другого.

ПРИКЛАД:

998 + 936 =

1000 + 934 =

1934.

Якщо від’ємник при округленні збільшимо на кілька одиниць, то, щоб різниця не змінилася, треба і зменшуване збільшити на стільки ж одиниць.

ПРИКЛАД:

2342 – 996 =

2346 – 1000 = 1346.

Якщо зменшуване при округленні зменшимо на кілька одиниць, то до одержаної різниці треба додати стільки ж одиниць.

ПРИКЛАД:

10012 – 8645 =

10000 – 8645 + 12

= 1355 + 12 = 1367.

Використання властивостей додавання і віднімання.

ПРИКЛАД:

279 + 583 + 721 =

(279 + 721) + 583 = 1583,

352 +109 – 52 =

(352 – 52) + 109 = 409,

573 – 432 – 68 =

573 – (432 + 68) = 73.

Завдання до уроку 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 15 августа 2014 г.