Урок 10. Подільність натуральних чисел

пятница, 15 августа 2014 г.

Урок 10. Подільність натуральних чисел

ВИДЕО УРОК

Дільники і кратні.

Дільником даного числа називається число, на яке дане ділиться без остачі.

Будь-яке просте число, наприклад 13, має тільки два дільники: одиницю і само себе. Будь-яке складне число має більш як два дільники.

ПРИКЛАД:

Число 6 має 4 дільники:

1, 2, 3 і 6.

ПРИКЛАД:

18 цукерок можна розділити порівну між 3 дітьми, давши кожному по 6 цукерок. Ці же цукерки не можна розділити порівну між 4 дітьми, не розрізаючи цукерки. Якщо дати кожному по 4 цукерки, то залишиться 2. Запишемо:

18 : 3 = 6;

18 : 4 = 4 (ост. 2).

Число 18 ділиться на число 3 без остачі (ще кажуть: 18 ділиться на 3). Число 3 називають дільником числа 18. Число 18 не ділиться без остачі на 4 (ще кажуть: 18 не ділиться на 4). Число 4 не є дільником числа 18.

Запишемо всі натуральні числа, на які ділиться число 18. Такими числами є 1, 2, 3, 6, 9, 18. Отже, число 18 має 6 дільників:

1, 2, 3, 6, 9 і 18.

Число 1 має лише один дільник – 1. Всяке інше натуральне число n ділиться на 1 і n. Тому 1 і n – дільники числа n, причому 1 – найменший дільник, n – найбільший.

Щоб знайти дільники даного складеного числа, спочатку розкладають його на прості множники: кожний з цих множників буде простім дільником даного числа. Множенням простих множників на 2, на 3, на 4 і т. д. одержують складені дільники даного числа.

ПРИКЛАД:

Знайти всі дільники числа 50.

50 = 2 × 5².

Отже, 50 ділиться на

1, 2, 5, 2 × 5, 5², 2 × 5².

Інших дільників число 50 не має.

ВІДПОВІДЬ:

1, 2, 5, 10, 25, 50.

Відоме правило, за яким можна легко визначати кількість всіх дільників даного числа. Для цього треба збільшити на одиницю показник степеня кожного співмножника канонічного розкладу даного числа і одержані числа перемножити.

ПРИКЛАД:

Скільки дільників має число 5600 ?

5600 = 2⁵ × 5² × 7,

(5 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1)

= 36.

ВІДПОВІДЬ:

Число 5600 має 36 дільників.

Будь-яке натуральне число, яке ділиться на дане натуральне число, називається кратним даному числу.

ПРИКЛАД:

Числа 36, 72, 180 діляться на 18. Кажуть, що числа 36, 72, 180 кратні числу 18. Усі числа, кратні числу 18, можна одержати, помноживши на 18 послідовно числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … :

18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, … – числа, кратні 18.

Кожне натуральне число n має безліч кратних, найменшим з яких є саме число n.

Якщо кожний доданок ділиться без остачі на яке-небудь число, то й сума поділиться на це число.

Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на якесь число, а цей один на нього не ділиться, то сума всіх цих доданків на нього не поділиться.

Якщо зменшуване і від'ємник діляться націло на яке-небудь число, то й різниця поділиться на це число.

Подільність суми.

Якщо кожний з доданків ділиться на якесь число, то й сума їх обов'язково поділиться на це саме число.

Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на якесь число₁ а один не ділиться, то сума не поділиться на це число.

Якщо ж два або більше доданків не діляться на якесь число, то про подільність суми не можна сказати нічого певного: в одних випадках вона ділиться, а в інших не ділиться на це число.

ПРИКЛАД:

13 і 7 не ділиться ні на 5, ні на 6, а сума 13 + 7 ділиться на 5, але не ділиться на 6.

Подільність різниці.

Якщо зменшуване і від'ємник діляться на якесь число, то й різниця поділиться на це саме число.

Якщо тільки одне з чисел — зменшуване або від'ємник — ділиться на якесь число, а друге не ділиться, то й різниця не ділиться на це число.

Якщо ні зменшуване, ні від’ємник не діляться на дане число, то різниця їх може ділитися, а може й не ділитися на це саме число.

ПРИКЛАД:

100 і 30 не діляться ні на 7, ні на 13, їх різниця

100 – 30

ділиться на 7, але на 13 не ділиться.

Подільність добутку на число і числа на добуток.

Якщо хоч один з співмножників ділиться на якесь число, то добуток їх також поділиться на це число.

Якщо ж один із співмножників не ділиться на дане число, то з цього ще не виходить, що на дане число не поділиться їх добуток.

ПРИКЛАД:

Ні 15, ні 10 не діляться на 6, а їх добуток

15 × 10

на 6 ділиться.

Якщо дане число ділиться на добуток, то воно ділиться на кожний з співмножників цього добутку.

Обернене твердження помилкове. Якщо якесь число ділиться зокрема на кілька даних чисел, то на їх добуток воно може і не поділитися.

ПРИКЛАД:

180 ділиться і на 5, і на 9, і на 6, але на добуток

5 × 9 × 6

воно не ділиться.

Якщо дане число ділиться на кілька попарно взаємно простих чисел то воно ділиться і на їх добуток.

ПРИКЛАД:

180 ділиться на 5, 3 і 4.

Ці числа попарно взаємно прості, тому 180 ділиться і на добуток

5 × 3 × 4.

ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ

Ділення без остачі не завжди можливе. Щоб, не виконуючи ділення, встановити, ділиться чи не ділиться одне число на інше, користуються ознаками подільності.

Ознаки подільності на 2.

Числа, що діляться на 2, називаються парними; числа, що на 2 не діляться, називаються непарними.

ПРИКЛАД:

Число 24 – парне, бо воно ділиться на 2, а число 25 – непарне, бо воно не ділиться на 2.

Одноцифрові числа

0, 2, 4, 6, 8 є парними, а числа

1, 3, 5, 7, 9 – непарними. Тому й цифри

0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри

1, 3, 5, 7, 9 – непарними.

На 2 діляться лише числа, кратні 2, тобто числа:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, … .

Запис кожного числа, кратного 2, закінчується парною цифрою. Якщо запис числа закінчується непарною цифрою, то вино не кратне 2, а тому не ділиться на 2.

На 2 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою.

Ознаки подільності на 3.

На 3 діляться ті е тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

ПРИКЛАД:

219 ділиться на 3:

219 : 3 = 73.

Сума цифр

2 + 1 + 9 = 12

також ділиться на 3.

142 не ділиться на 3:

142 : 3 = 47 (ост. 3).

Сума цифр

1 + 4 + 2 = 7

також не ділиться на 3.

Ознаки подільності на 4.

На 4 діляться ті парні натуральні числа, у яких дві останні цифри – або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 4.

Ознаки подільності на 5.

На 5 діляться лише числа, кратні 5, тобто числа:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, … .

Запис кожного числа, кратного 5, закінчується цифрою 0 або цифрою 5. Якщо запис числа закінчується іншою цифрою, то число не кратне 5, а тому не ділиться на 5.

На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5.

Ознаки подільності на 6.

На 6 діляться ті парні натуральні числа, які діляться на 3.

Ознаки подільності на 8.

На 8 або 125 діляться ті натуральні числа, у яких три останні цифри – або нулі, або утворюють число, яке діляться на 8 або 125.

Ознаки подільності на 9.

На 9 діляться тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Ознаки подільності на 10.

На 10 діляться лише ті натуральні числа, які закінчуються на 0.

Ознаки подільності на 15.

На 15 діляться ті натуральні числа, які діляться на 5 і 3.

Ознаки подільності на 25.

На 25 діляться ті натуральні числа, у яких дві останні цифри –

або нулі, або утворюють число, яке ділиться на 25.

Прості і складені числа.

Будь-яке число (маються на увазі тільки натуральні числа) ділиться на одиницю і само на себе. Існують числа, які діляться не тільки на одиницю і самі на себе, але мають ще й інші дільники.

ПРИКЛАД:

Число 12, крім 1 і 12, має ще дільники

2, 3, 4, 6.

Всяке натуральне число, крім одиниці, яке ділиться тільки на одиницю і само на себе, називається простим.

Число, яке ділиться не тільки на одиницю і само на себе, а ще й на інші числа, називається складеним.

ПРИКЛАД:

Числа 2, 3, 17 – прості,

а числа 4, 12, 21, 30 – складені.

Число 1 (одиниця) не зараховують ні до простих, ні до складених чисел. Найменше просте число – число два. Найбільшого простого числа немає, бо яке б просте число не взяли, існує більше за нього просте число. Усі прості числа, крім числа два, є непарним.

Розкладання чисел на прості множники.

Кожне складне число можна розкласти на прості множники.

Розкласти число на прості множники – значить подати його у вигляді добутку простих чисел.

Кожне складне число розкладається на прості множники єдиним способом.

ПРИКЛАД:

Якщо число 20 розклалося на дві двійки і п’ятірку, то воно і завжди буде так розкладатися незалежно від того, чи почнемо розкладання з множників 2, чи з 5:

20 = 2 × 2 × 5 = 2 × 5 × 2

= 5 × 2 × 2.

Щоб розкласти число на прості множники, треба знайти його прості дільники. При цьому можна використовувати ознаки подільності чисел. Зручно розкладати число на множники таким чином:

– записуємо число і проводимо праворуч вертикальну риску;
– найменший простий дільник цього числа записуємо праворуч від риски;

– зліва від риски під заданим числом записуємо частку від ділення числа на простий дільник;
– праворуч від риски записуємо найменший простий дільник одержаного числа.

Продовжуємо таким чином знаходити прості дільники, доки частка дорівнювати одиниці. Праворуч від риски розташовані найменші прості дільники заданого числа. Розкладом на прості множники буде добуток цих найменших дільників.

ПРИКЛАД:

Нехай потрібно розкласти на прості множники число 630. Записуємо це число і проводимо праворуч вертикальну риску.

Найменшим простим дільником цього числа є 2; записуємо 2 праворуч від риски. Ділимо 630 на 2 і записуємо частку 315 ліворуч від риски під числом 630. Знаходимо тепер найменший простий дільник числа 315. Ним є число 3, записуємо його праворуч від риски. Ділимо 315 на 3, частку 105 записуємо ліворуч. Ділимо 105 на 3, дістаємо 35; 35 ділимо на 5, дістаємо 7. Число 7 просте, поділивши його на 7, достаємо 1. Розклад закінчено.

630 = 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2 × 3² × 5 × 7.

Розкладання на множники великих чисел.

Якщо дане число невелике або якщо воно ділиться на невелике просте число, то його неважко розкласти на множники. Але у загальному випадку розкладання чисел на множники дуже трудомістке.

ПРИКЛАД:

Досить важко розкласти на множники порівняно невелике число

12091.

Випробовуючи числа

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 і т. д.,

ми довго не можемо виявити його дільники, хоча дане число не просте.

Завдання до уроку 10

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 15 августа 2014 г.