пятница, 15 августа 2014 г.

Урок 5. Множення натуральних чисел

ВИДЕО УРОК
Смисл дії множення натуральних чисел найкраще визначити, виходячи з додавання кількох однакових чисел. Помножити число  а  на число b   означає знайти суму  b  доданків, кожний з яких дорівнює  а.

ПРИКЛАД:

Якщо число  5  треба помножити на  7, то пишуть

5 × 7 = 35

І кажуть, що треба знайти суму семи однакових доданків.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 
= 5 × 7.

Множенням називається дія, яка полягає в знаходженні суми однакових доданків.

Число, що є доданком, називається множеним; число, яке показує, скільки таких однакових доданків, називається множником. Результат діє, тобто число, знайдене при множенні, називається добутком. Множене і множник іноді називають одним словом співмножники. Так,у нашому прикладі  5 – множене, 7 – множник, 35 – добуток. Знак множення  ×  ставиться між множеним і множником. Як знак множення часто вживається крапка  ∙  .

ПРИКЛАД:

3 × 5 = 15.

Перед буквеними співмножниками знак множення не ставлять.

Якщо замість цифр при множенні пишуть букви, то знак множення можна не ставити:
Дія множення завжди можлива і при даних співмножниках дає єдиний результат.
Якщо множене дорівнює одиниці, то добуток дорівнює множникові.
Якщо множник дорівнює одиниці, то добуток приймається рівним множеному.

ПРИКЛАД:

1 × 5 = 5,
10 × 1 = 10.

Якщо множене дорівнює нулеві, то добуток дорівнює  нулеві.
Якщо множник дорівнює нулеві, то добуток приймається рівним нулеві.

ПРИКЛАД:

0 × 342 = 0,
37 × 0 = 0,
0 × 0 = 0.

Ці властивості можна записати за допомогою змінної. При будь-яких значеннях  b  правильні рівності:

1 × b = b,
0 × b = 0.

ЗАКОНИ МНОЖЕННЯ

Переставний закон.

При множенні чисел ми можемо співмножники міняти м'ясницями. У цьому і полягає переставний закон множення, який можна сформулювати так:

Добуток не змінюється від зміни місць співмножників.

Переставний закон можна виразити коротко за допомогою букв. Якщо позначити перший співмножник буквою  a, а другий – буквою  b, то переставний закон можна записати у вигляді такої рівності:
Якщо співмножників більше як два, наприклад три, то переставний закон залишається в силі:
Сполучний закон.

Добуток не зміниться, якщо яку-небудь групу співмножників, що стоять поряд, ми замінимо їх добутком.

Цей закон називається сполучним. Його назва повинна нагадувати нам про те, що при множенні кількох чисел співмножники можна об'єднувати (сполучати) в групи. У загальному вигляді цей закон можна записати так:
Розподільний закон.

Добуток суми кількох чисел на яке-небудь число дорівнює сумі добутків кожного доданка на це число.

Запишемо його в загальному вигляді для випадку трьох доданків:
Згідно з цим законом: множення, розподілити між окремими доданками. Оскільки добуток не змінюється від переставлення співмножників, то з розподільного закону випливає, що множення числа на суму можна замінити множенням цього числа на кожний доданок окремо з дальшим додаванням результатів, тобто:
Множення добутку на число і числа на добуток.

Щоб помножити добуток кількох чисел на будь-яке число (чи навпаки), досить один із співмножників добутку помножити на це число, залишивши інші співмножники без зміни.

ПРИКЛАД:

(35 × 12) × 4 =
(35 × 4) ×12 =
140 × 12 = 1680,
20 × (7 × 18 × 5)
= (20 × 5) × 7 × 18
=100 × 7 × 18 = 12600.

Множення різниці на число.

Щоб помножити різницю на число, досить помножити на це число окремо зменшуване і від'ємник і потім від першого добутку відняти другий.
ПРИКЛАД:

(35 – 15) × 4 =
35 × 4 – 15 × 4
=140 – 60 = 80.

Множення многоцифрових чисел на письмі.

ПРИКЛАД:

236 × 4.  

Ми можемо подати  236  як суму трьох доданків 

(200 + 30 + 6)  і,

користуючись розподільним законом, помножити окремо сотні, десятки і одиниці, на  4  і знайдені добутки додати:

(200 + 30 + 6) × 4 =
200 × 4 + 30 × 4 + 6 × 4
= 800 + 120 + 24 = 944. 

Проте такий запис множення займає богато місця. Тому прийнято починати множення з нижчих розрядів, а проміжні обчислення виконувати в думці.

ПРИКЛАД:

236 × 4 = 944.

При ціому треба міркувати так. Починаємо множення з одиниць і говоримо:

4 × 6 = 24,

число  4  пишемо, а  2  десятки запам’ятовуємо, щоб потім додати їх до добутку десятків; 3 десятки помножаємо на  4, буде  12  десятків, та ще  2 – всього  14  десятків;  4  десятки пишемо, а  10  десятків, тобто сотню, запам'ятовуємо, щоб потім додати до сотень; 2 сотні помножаємо на  4, буде  8  сотень, та ше  1  сотня – всього  9  сотень.

ПРИКЛАД:

Помножимо  618  на  325. Тут множник – трицифрове число. Тому спочатку ми помножили множене на одиниці множника  (618 × 5)  і дістали перший проміжний добуток  3090; потім помножили множене на десятки множника  (618 × 2), дістали другий проміжний добуток  1236  і почали підписувати його під десятками першого; потім помножили множене на сотні множника  (618 × 3), дістали третій проміжний добуток  1854  і почали підписувати його під сотнями перших. Нарешті, ми додали три проміжні добутки і знайшли загальний добуток  200 850.

ПРИКЛАД:

Помножимо  642  на  305. Тут ми спинимося тільки на особливостях цього випадку. Число  305, що  є множником, має нуль на місці десятків. На цей нуль ми також помножали множене  642  і  дістали другий проміжний добуток, що дорівнює нулеві. Він позначений у нас трьома нулями, бо ми міркували так:

642 × 0 = 0,   бо   
2 × 0 = 0;   
4 × 0 = 0;   
6 × 0 = 0.

З останнього прикладу ми зробимо висновки:

– проміжний добуток треба починати підписувати під тією розрядною одиницею, на яку виконується множення, наприклад, крайня права цифра  6  третього добутку написана під сотнями, бо іє дістали від множення на сотні.
– нулі, поставлені на місці другого проміжного добутку, писати не слід, але треба пам'ятати, що крайня права цифра третього добутку повинна стояти під сотнями, а не під десятками.
Щоб помножити натуральне число на  10, 100, 1000, … , треба  приписати до цього числа праворуч стільки нулів, скільки їх у числі, на яке множимо.

ПРИКЛАД:

23 × 100 = 2300;         
83 × 1000 = 83000.

Щоб помножити натуральні числа, які закінчуються нулями, треба:
– виконати множення, не звертаючи уваги на нулі в кінці чисел;       
– до знайденого добутку приписати праворуч стільки нулів, скільки їх у всіх множниках разом.

Щоб помножити число на добуток кількох чисел, досить помножити його на перший співмножник, потім на третій і т. д.

Щоб помножити добуток на яке-небудь число, досить помножити на це число один із співмножників, залишивши інші без змін.

Перевірка множення.

Множення можна перевірити множенням; для цього треба переставити співмножники і знову їх перемножити.

СПОСОБИ ШВИДКОГО МНОЖЕННЯ

Множення на число, близьке до одиниці якось розряду.

ПРИКЛАД:

405 × 97 = 405(100 – 3)
= 405 × 100 – 405 × 3 =
40500 – 1215 = 39285,
8012 × 1006 =
8012(100 + 6) =
8012000 + 8012 × 6 =
8012000 + 48072 = 8060072.

Множення  9, 99, 999.

Щоб помножити на число, на­писане дев'ятками, треба до множеного приписати справа стільки нулів, скільки дев'яток у множнику, і від результату відняти множене.

ПРИКЛАД:

378 × 9 = 3870 – 387
= 3483,
24 × 99 = 2400 – 24
= 2376,
18 × 999 = 18000 – 18
= 17982.

Множення двозначного числа на  11.

Щоб помножити двозначне число, сума цифр якого менша за  10, на  11, треба між цифрами числа написати суму його цифр.

ПРИКЛАД:
72 × 11 = 792.
Щоб помножити на  11  двозначне число, сума цифр якого біль­ша або дорівнює  10, треба між цифрою десятків,збільшеною на  1,і цифрою одиниць написати надлишок суми цифр числа над  10.

 ПРИКЛАД:

 68 × 11 = 748.

 Завдання до уроку 5
Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)