Урок 6. Ділення натуральних чисел

пятница, 15 августа 2014 г.

Урок 6. Ділення натуральних чисел

ВИДЕО УРОК

Діленням називається дія, за допомогою якої за даним добутком двох співмножників і одним з цих співмножників знаходимо другий співмножник.

ПРИКЛАД:

Поділити 900 на 12 означає знайти таке число х, при множені якого на 12 одержимо 900.

Взагалі, поділити число а на число b – значить знайти таке число х, при множенні якого на число b одержуємо а:

x × b = а.

Число, яке ділять, називається діленим; число, на яке ділять , називається дільником; число, яке утворюється в результаті ділення, називається часткою.

ПРИКЛАД:

30 : 5 = 6.

30 – ділене, 5 – дільник, а 6 – частка.

Знак ділення : (двокрапка) ставиться між діленим і дільником. Порівнявши ділення з множенням, дістанемо такий висновок: при множенні діється два числа, а знаходимо їх добуток; при діленні дається добуток і один із співмножників, а знаходимо другий співмножник. Таким чином, число, яке при множенні є шуканим, при діленні виявляється даним, і навпаки. Тому ділення називають дією, яка обернена множенню. Ділення можливо не завжди.

ПРИКЛАД:

30 не ділиться на 7 – немає такого натурального числа х, якому 7х дорівнює 30.

Якщо ділене дорівнює дільнику, то частка дорівнює одиниці

9 : 9 = 1.

Якщо дільник дорівнює одиниці, то частка дорівнює діленому

12 : 1 = 12.

Частка від ділення нуля на будь-яке число, відмінне від нуля, дорівнює нулю

0 : 12 = 0.

Ці властивості за допомогою змінної записуються відповідно так:

а : а = 1;

а : 1 = а;

0 : а = 0.

Жодне число не можна ділити на нуль. Адже поділити 6 на 0 означає знайти таке число х, при якому 0 × х = 6. А при будь-якому значенні х добуток 0 × х дорівнює нулю, а не 6. Таким чином, ділити 6 на 0 не можна. Не можна ділити і 0 на 0. Яке б ми число не взяли, ця рівність буде правильною. Тому не можна знайти певного значення х. Ділення на нуль (0) неможливе. Нуль не може бути дільником.

Числа 0, 2, 4, 6, 8 діляться на 2. Виявляється, що на 2 ділиться і будь – яке багатоцифрове число, у запису якого остання цифра – 0, 2, 4, 6, або 8. Такі числа називають парними.

Перша властивість ділення.

Щоб поділити суму на яке-небудь число, досить поділити на це число кожний доданок окремо і знайдені частки додати.

Ця властивість справедлива для будь-яких чисел. За допомогою букв її можна записати так:

ПРИКЛАД:

(8 + 12) : 4 =

8 : 4 + 12 : 4

= 2 + 3 + 5.

Друга властивість ділення.

Щоб поділити різницю на яке-небудь число, досить окремо поділити на це число зменшуване і від’ємник, а потім від першої частки відняти другу.

(Припускаємо, що і зменшуване і від’ємник діляться на це число без остачі). За допомогою букв цю властивість можна записати так:

ПРИКЛАД:

(18 – 6) : 3 =

18 : 3 – 6 : 3

= 6 – 2 = 4.

Ділення числа на добуток.

Щоб поділити число на добуток, досить поділити це число на перший співмножник, знайдену частку поділити на другий співмножник, знову знайдену частку поділити на третій співмножник і т. д.

ПРИКЛАД:

960 поділити на добуток

4 × 6 × 8.

960 : 4 = 240;

240 : 6 = 40;

40 : 8 = 5.

Ділення добутку на число.

Щоб поділити добуток на яке-небудь число, досить поділити на це число один співмножник, залишивши інші без змін.

ПРИКЛАД:

Поділити добуток

24 × 18 × 10

(що дорівнює 4320) на 8 можна так:

24 : 8 = 3;

3 × (18 × 10)

= 3 × 180 = 540.

Однак у прикладі

(6 × 8) : 16

треба спочатку обчислити добуток

(6 × 8).

Множення числа на частку.

Щоб помножити число на частку, досить помножити це число на ділене і знайдений добуток поділити на дільник.

У загальному вигляді:

Ділення числа на частку.

Щоб поділити число на частку, досить поділити це число на ділене і знайдену частку помножити на дільник.

У загальному вигляді:

Залежність між даними числами і результатами дій з ними.

Щоб знайти невідомий співмножник, досить поділити добуток на відомий співмножник (чи на добуток відомих співмножників), тобто якщо

ab = c, то

a = c : b,

b = c : a.

Щоб знайти невідоме ділене, досить дільник помножити на частку_t тобто якщо

а : b = c, то

а = bс.

Щоб знайти невідомий дільник, досить ділене поділити на частку, тобто якщо

а : b = c, то

b = а : с.

Зміна добутку і частки.

Якщо один співмножник збільшити (зменшити) у кілька разів у то й добуток збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.

У загальному вигляді, якщо

ab = c, то

(ат)b = ст і

(а : т)b = с : т.

ПРИКЛАД:

5 × 6 = 30, тоді

(5 × 4) × 6 = 30 × 4.

4 × 8 = 32, тоді

(4 : 2) × 8 = 30 : 2.

Якщо один співмножник добутку збільшити (зменшити) у кілька разів, а другий зменшити (збільшити) у стільки ж разів, то добуток не зміниться, тобто якщо

аb = с, то

(а : т)(bт) = с.

ПРИКЛАД:

25 × 10 = 250, тоді

(25 : 5)(10 × 5) = 250.

Якщо ділене збільшити (зменшити) у кілька разів, то й частка збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів, тобто якщо.

а : b = с, то

(та) : b = тс.

(а : т) : b = с : т.

ПРИКЛАД:

40 : 5 = 8, тоді

(40 × 6) : 8 = 8 × 6;

440 : 11 = 40, тоді

(440 : 4) : 11 = 40 : 4.

Якщо дільник збільшити (зменшити) у кілька разів, то частка зменшиться (збільшиться) у стільки ж разів, тобто якщо

a : b = с, то

а : (bт) = с : т і

а : (b : т) = ст.

ПРИКЛАД:

64 : 8 = 8, тоді

64 : (8 × 2) = 8 : 2;

81 : 9 = 9, тоді

81 : (9 : 3) = 9 × 3.

Якщо ділене і дільник збільшити або зменшити в те саме число разів, то частка не зміниться, тобто якщо

a : b = с, то

(ат) : (bт) = с і

(а : т) : (b : т) = с.

Ця властивість називається основною властивістю частки.

ПРИКЛАД:

32 : 16 =

(32 × 2) : (16 × 2) = 2.

32 : 16 =

(32 : 4) : (16 : 4) = 2.

Ділення чисел стовпчиком.

ПРИКЛАД:

Поділимо 58296 на 347. Дія починається з старших розрядів, щоб складене з них число було не менше від дільника. Дію прийнято записувати так:

Беремо 582 сотні і ділимо на 347, дістаємо в частці одну сотню, потім віднімаємо добуток 347 на 1 від 582 сотень і знаходимо остачу 235 сотень. Щоб знайти десятки частки, треба роздробити остачу 235 на десятки (це буде 2350) і додати до них число десятків, що є в діленому, тобто 9, вийде 2359. Коротко говорять, що треба до остачі <<знести>> 9 десятків. Ділимо 2359 десятків на 347 і знаходимо в частці 6 десятків. Віднімаємо добуток 347 на 6, тобто 2082 десятки від 2359 десятків і знаходимо остачу – 277 десятків. Щоб знайти одиниці частки, зносимо до остачі 6 одиниць діленого і дістаємо 2776, ділимо їх на 347 і в частці дістаємо 8. Отже, 58296 : 347=168.

При діленні натуральних чисел, які закінчуються нулями, на розрядну одиницю 10, 100, 1000, … (коли кількість нулів розрядної одиниці не перевищує кількість нулів у кінці діленого) треба в кінці діленого відкинути стільки нулів, скільки їх у дільнику.

Порядок дій.

При виконанні кількох дій результат залежить від даних чисел і від порядку виконання дій з ними.

Для попередження непорозумінь вводяться умови, в якому порядку слід виконувати дії у вирази, записаному без дужок.

Додавання і віднімання називають діями першого ступеня, множення і ділення – діями другого ступеня.

Якщо у виразі (без дужок) трапляються дії тільки другого ступеня, то їх виконують у тому порядку, в якому вони написані, зліва направо.

ПРИКЛАД:

40 × 2 : 4 × 5

= 80 : 4 × 5 =

20 × 5 = 100.

Якщо у виразі трапляються дії різних ступенів, то спочатку виконують дії вищих, а потім нижчих ступенів.

Перевірка ділення множенням.

Ділення можна перевірити множенням на тій підставі, що ділене є добуток, а дільник і частка – співмножники. Тому, щоб перевірити ділення, слід помножити дільник на частку. Якщо результат дорівнюватиме діленому, то цілком можливо, що дію виконано правильно (маємо на увазі ділення без остачі).

Перевірка ділення діленням.

Оскільки ділене є добуток дільника на частку, то від ділення діленого на частку повинен вийти дільник. Тому, щоб перевірити ділення, можна ділене поділити на частку.

Порядок виконання дій в виразах.

Додавання і віднімання – дії першого ступеня. У виразах, що містять тільки додавання і віднімання, дії виконують у тому порядку, як вони записані. Множення і ділення – дії другого ступеня. У виразах, що містять тільки множення і ділення, дії виконують у тому порядку, як вони записані. У виразах, що містять дії обох ступенів, першими виконують дії старшого ступеня, тобто множення і ділення. Дужки у виразі змінюють порядок виконання дій. У виразі з дужками спочатку виконують дії у дужках, а потім інші дії у встановленому порядку. Якщо у дужки взято вираз, що містить дії обох ступенів, тоді і в дужках дії виконують за відомим порядком. Не можна довільно опускати дужки або вносити їх у вираз. Обчислюючи значення числового виразу треба дотримуватися порядку виконання дій. Для знаходження значення числового виразу необхідно визначати послідовність дій, тобто скласти алгоритм обчислення.

ПРИКЛАД:

Алгоритм обчислення для знаходження значення виразу

(20 + 63 : 9) × (11 × 3 – 23)

містить такі кроки:

– поділити 63 на 9;

– додати 20 і результат дії 1;
– помножити 11 і 3;
– від результату дії 3 відняти 23;
– перемножити результати дій 2 і 4.

Алгоритм обчислення можна подати у вигляді схеми. Послідовне виконання кроків алгоритму дасть змогу заповнити порожні клітинки схеми та отримати відповідь у її нижній клітинці.

Часто для зазначення порядку дій необхідно брати у дужки такі вирази, які вже самі містять дужки. Тоді, крім звичайних круглих дужок (), застосовують дужки квадратні [ ] і фігурні { }. Дії виконують у такому порядку: спочатку – обчислення всередині круглих дужок у зазначеній вище послідовності; потім – всередині всіх квадратних дужок за тими самими правилами; далі – всередині фігурних дужок; потім виконується решта дій.

ПРИКЛАД:

5 + 2[14 – 3(8 – 6)] +
32 : (10 – 2 × 3).

Виконуємо дії в круглих дужках:

8 – 6 = 2,

10 – 2 × 3 =

10 – 6 = 4.

Дії у квадратних дужках дають

14 – 3 × 2 = 8.

Виконуючи решту дій, знаходимо:

5 + 2 × 8 + 32 : 4

= 5 + 16 + 8 = 29.

СПОСОБИ ШВИДКОГО МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ

Множення на 5, 25, 125.

Щоб помножити число на 5, 25, 125, досить поділити його відповідно на 2, 4, 8 і результат помножити на 10, 100, 100.

ПРИКЛАД:

2486 × 5 = 12430,

оскільки

2486 : 2 = 1243.

ПРИКЛАД:

8084 × 25 = 202100,

оскільки

8084 : 4 = 2021.

Ділення на 5, 25, 125.

Щоб поділити число на 5, 25, 125, досить помножити його відповідно на 2, 4, 8 і поділити на 10, 100, 1000.

ПРИКЛАД:

235 : 5 = 47,

оскільки

235 × 2 = 470.

1175 : 25 = 47,

оскільки

1175 × 4 = 4700.

Використання властивостей множення і ділення.

ПРИКЛАД:

93 × 8 × 125 =
93 × (8 × 125) = 93000,

З6 × 18 : 9 =
36 × (18 : 9) = 36 × 2 = 72,

26 × 235 : 13 =
(26 : 13) × 235 = 470.

Завдання до уроку 6

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 15 августа 2014 г.