Урок 20. Задачі на рух в одному напрямі

воскресенье, 29 мая 2016 г.

Урок 20. Задачі на рух в одному напрямі

ВІДЕОУРОК

Об'єкти руху рухаються в одному напрямку, виїжджаючи з одного пункту одночасно.

Розглянемо випадок, коли об'єкти руху можуть рухатися в одному напрямку, причому з різною швидкістю.

Наприклад, з одного пункту одночасно можуть виїхати велосипедист та мотоцикліст, причому швидкість велосипедиста може становити 20 км/год, а швидкість мотоцикліста – 40 км/год.

Після початку руху, за одну годину, мотоцикліст буде попереду велосипедиста на 20 км. Це пов'язано з тим, що за годину він долає на 20 км більше, ніж велосипедист. Тому щогодини відстань між велосипедистом та мотоциклістом збільшуватиметься на двадцять кілометрів. У цьому випадку 20 км/год є швидкістю видалення мотоцикліста від велосипедиста. За дві години відстань, пройдена велосипедистом, становитиме 40 км. Мотоцикліст проїде 80 км, віддалившись від велосипедиста ще на 20 км. Тоді відстань між ними становитиме вже 40 км.

Щоб знайти швидкість видалення під час руху в одному напрямку, потрібно з більшої швидкості відняти меншу швидкість.

У наведеному прикладі швидкість видалення становить 20 км/год. Її можна знайти шляхом віднімання швидкості велосипедиста зі швидкості мотоцикліста. Швидкість велосипедиста становила 20 км/год, а швидкість мотоцикліста – 40 км/год. Швидкість мотоцикліста більша, тому з 40 віднімаємо 20.

40 км/год – 20 км/год = 20 км/год.

ЗАДАЧА:

З міста в тому самому напрямку виїхали легковий автомобіль і автобус. Швидкість автомобіля 120 км/год, а швидкість автобуса 80 км/год. Яка відстань буде між ними через 1 годину ? 2 години ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість видалення. Для цього з більшої швидкості віднімемо меншу швидкість:

120 км/год – 80 км/год = 40 км/год.

Щогодини легковий автомобіль віддаляється від автобуса на 40 кілометрів. За одну годину відстань між автомобілем та автобусом буде 40 км. За 2 години вдвічі більше:

40 ∙ 2 = 80 (км).

ВІДПОВІДЬ: 80 км

ЗАДАЧА:

З одного пункту в одному напрямку одночасно виїхали два мотоциклісти. Швидкість одного 35 км/год, а швидкість іншого становила 80% швидкості першого мотоцикліста. Яка відстань буде між ними через 5 годин ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість другого мотоцикліста. Вона становить 80 % швидкості першого мотоцикліста. Тому, щоб знайти швидкість другого мотоцикліста, потрібно знайти 80% від 35 км/год.

35 ∙ 0,80 = 28 км/год.

Перший мотоцикліст рухається на 7 км/год швидше:

35 км/год – 28 км/год = 7 км/год.

За одну годину перший мотоцикліст долає на 7 км більше. З кожною годиною він віддалятиметься від другого мотоцикліста на ці 7 км. Через 5 годину перший мотоцикліст пройде:

35 ∙ 5 = 175 (км),

а другий:

28 ∙ 5 = 140 (км),

Визначимо відстань, яка буде між ними через 5 год:

175 км – 140 км = 35 км.

ВІДПОВІДЬ: 35 км

ЗАДАЧА:

Автомобіль та автобус виїхали одночасно з одного пункту в одному напрямку. Швидкість автомобіля 53 км/год, швидкість автобуса 41 км/год. Через скільки годин після виїзду автомобіль буде попереду автобуса на 48 км ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість видалення автомобіля від автобуса:

53 км/год – 41 км/год = 12 км/год.

З кожною годиною автомобіль віддалятиметься від автобуса на 12 км. Щоб дізнатися через скільки годин автомобіль буде попереду автобуса на 48 км, потрібно визначити скільки разів у 48 км містять по 12 км:

48 : 12 = 4 (год).

ВІДПОВІДЬ: 4 год

ЗАДАЧА:

З одного міста одночасно в одному напрямі виїхали вантажівка зі швидкістю 48 км/год і легковий автомобіль зі швидкістю 64 км/год. Якою буде відстань між ними через 3 год після початку руху ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

64 – 48 = 16 (км) – на стільки збільшується відстань між автомобілями щогодини.

16 ∙ 3 = 48 (км) – відстань між автомобілями через 3 год.

ВІДПОВІДЬ: 48 км

ЗАДАЧА:

З міста Мінськ до Смоленська, відстань між якими 346 км, вирушили одночасно велосипедист та автомобіліст. Швидкість автомобіля 20 м/сек, а велосипедиста 20 км/год. Яка відстань буде між ними через 2 години ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Не можна складати різні одиниці виміру, тому треба перевести метри за секунду на кілометри на годину. Бо в

1 кілометр – 1000 метрів, а в

1 годині – 3600 секунд, тоді

1 км/год = 1000 : 3600 = ⁵/₁₈ м/сек.

Складемо пропорцію:

1 км/год ----------- ⁵/₁₈ м/сек,

х км/год ----------- 20 м/сек,

Швидкість автомобіля – 72 км/год.

Оскільки автомобіліст і велосипедист виїхали з одного місця і рухаються в одному напрямку, відстань між ними за одну годину наростатиме зі швидкістю:

72 – 20 = 52 (км/год).

А через 2 години воно буде рівним:

52 ∙ 2 = 104 (км).

ВІДПОВІДЬ: 104 км

Об'єкти руху рухаються в одному напрямку, виїжджаючи з різних пунктів одночасно.

Розглянемо ситуацію, в якій об'єкти розпочали свій рух із різних пунктів, але в одному напрямку.

Нехай є будинок, школа та атракціон. Від будинку до школи 700 м. Два пішоходи вирушили в атракціон в один і той же час. Причому перший пішохід відправився в атракціон від будинку зі швидкістю 100 м/хв, а другий пішохід вирушив до атракціону зі школи зі швидкістю 80 м/хв. Яка відстань буде між пішоходами через 2 хвилини ? Через скільки хвилин після початку руху перший пішохід наздожене другого?

Відповімо на перше запитання завдання – яка відстань буде між пішоходами за дві хвилини ?

Визначимо відстань, пройдену першим пішоходом за 2 хв. Він рухався зі швидкістю 100 м/хв. За дві хвилини він пройде вдвічі більше, тобто 200 м.

100 ∙ 2 = 200 (м).

Визначимо відстань, пройдену другим пішоходом за 2 хв. Він рухався зі швидкістю 80 м/хв. За дві хвилини він пройде вдвічі більше, тобто 160 м.

80 ∙ 2 = 160 (м).

Тепер потрібно знайти відстань між пішоходами. Щоб знайти відстань між пішоходами, можна до відстані від будинку до школи (700 м) додати відстань, пройдену другим пішоходом (160 м) та з отриманого результату відняти відстань, пройдену першим пішоходом (200 м).

700 м + 160 м = 860 м,

860 м – 200 м = 660 м.

Або від відстані від будинку до школи (700 м) відняти відстань, пройдену першим пішоходом (200 м), і до отриманого результату додати відстань, пройдену другим пішоходом (160 м).

700 м – 200 м = 500 м,

500 м + 160 м = 660 м.

Таким чином, через дві хвилини відстань між пішоходами становитиме 660 м.

Відповімо на таке запитання завдання. Через скільки хвилин після початку руху перший пішохід наздожене другого ? Подивимося якою була ситуація на початку шляху – коли пішоходи ще не почали рух. Відстань між пішоходами на початку шляху становила 700 м. Але вже через хвилину після початку руху відстань між ними становитиме 680 м, оскільки перший пішохід рухається на 20 м швидше за другий:

100 м ∙ 1 = 100 м,

80 м ∙ 1 = 80 м,

700 м + 80 м – 100 м =

= 780 м – 100 м = 680 м.

Через дві хвилини після початку руху відстань зменшиться ще на 20 м і становитиме 660 м.

100 м ∙ 2 = 200 м,

80 м ∙ 2 = 160 м,

700 м + 160 м – 200 м =

= 860 м – 200 м = 660 м.

Через три хвилини відстань зменшиться ще на 20 м і вже складатиме 640 м.

100 м ∙ 3 = 300 м,

80 м ∙ 3 = 240 м,

700 м + 240 м – 300 м =

= 940 м – 300 м = 640 м.

Ми бачимо, що з кожною хвилиною перший пішохід наближатиметься до другого на 20 м, і нарешті наздожене його. Можна сказати, що швидкість, що дорівнює двадцяти метрам на хвилину, є швидкістю зближення пішоходів. Правила знаходження швидкості зближення та видалення під час руху в одному напрямку ідентичні.

Щоб знайти швидкість зближення під час руху в одному напрямку, потрібно з більшої швидкості відняти меншу швидкість.

А раз початкові 700 м з кожною хвилиною зменшуються на однакові 20 м, то можна дізнатися скільки разів 700 м містять по 20 м, тим самим визначимо, через скільки хвилин перший пішохід наздожене другого:

700 : 20 = 35.

Отже, через 35 хв після початку руху перший пішохід наздожене другого. Дізнаємось, скільки метрів пройшов до цього часу кожен пішохід.

Перший рухався зі швидкістю 100 м/хв. За 35 хв він пройшов у 35 разів більше:

100 м ∙ 35 = 3500 м.

Другий рухався зі швидкістю 80 м/хв. За 35 хв він пройшов у 35 разів більше:

80 м ∙ 35 = 2800 м.

Перший пройшов 3500 м, а другий 2800 м. Перший пройшов на 700 м більше, бо він йшов від дому. Якщо відняти ці 700 м із 3500 м, то ми отримаємо 2800 м.

ЗАДАЧА:

З двох сіл, відстань між якими 40 км, одночасно в одному напрямку виїхали автобус та велосипедист. Швидкість велосипедиста 15 км/год, а швидкість автобуса 35 км/год. Через скільки годин автобус наздожене велосипедиста ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість зближення:

35 км/год – 15 км/год = 20 км/год.

Визначимо, за скільки годин автобус наздожене велосипедиста:

40 : 20 = 2 (год).

ВІДПОВІДЬ: 2 год

ЗАДАЧА:

Відстань між двома селищами дорівнює 24 км. Із цих селищ одночасно в одному напрямі вирушили пішохід і велосипедист. Попереду йшов пішохід. Через скільки годин після початку руху велосипедист наздогнав пішохода, якщо пішохід ішов зі швидкістю 4 км/год, а велосипедист їхав зі швидкістю 12 км/год ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

12 – 4 = 8 (км) – на стільки зменшувалася відстань між велосипедистом і пішоходом щогодини.

24 : 8 = 3 (год) – час, за який велосипедист наздогнав пішохода.

ВІДПОВІДЬ: 3 год

Об'єкти руху рухаються в одному напрямку, але один з об'єктів почав свій рух раніше за інший.

Розглянемо ситуацію, в якій об'єкти рухаються в одному напрямку, але один з об'єктів почав свій рух раніше за інший.

Нехай є будинок та школа. Перший пішохід вирушив до школи зі швидкістю 80 м/хв. Через 5 хв слідом за ним до школи вирушив другий пішохід зі швидкістю 100 м/хв. Через скільки хвилин другий пішохід наздожене першого ?

Другий пішохід розпочав свій рух через 5 хв. На той час перший пішохід уже віддалився від нього на якусь відстань. Знайдемо цю відстань. Для цього помножимо його швидкість (80 м/хв) на 5 хв.

80 ∙ 5 = 400 (м).

Перший пішохід віддалився від другого на 400 м. Тому в момент, коли другий пішохід почне свій рух, між ними будуть ці 400 м. Але другий пішохід рухається зі швидкістю 100 м/хв. Тобто рухається на 20 м швидше за першого пішохода, а значить з кожною хвилиною відстань між ними зменшуватиметься на 20 м. Треба дізнатися через скільки хвилин другий пішохід наздожене першого. Наприклад, вже за хвилину відстань між пішоходами становитиме 380 м. Перший пішохід до своїх 400 м пройде ще 80 м, а другий пройде 100 м. Відстань між пішоходами в момент руху другого пішохода необхідно розділити на швидкість зближення пішоходів. Швидкість зближення у разі дорівнює двадцяти метрам. Тому щоб визначити через скільки хвилин другий пішохід наздожене першого, потрібно 400 м розділити на 20.

400 : 20 = 20 (хв).

Отже, через 20 хв другий пішохід наздожене першого.

ЗАДАЧА:

Легкова машина, швидкість якої 62 км/год, наздоганяє вантажну машину, швидкість якої 47 км/год. Через скільки часу і на якій відстані від початку руху легкова машина наздожене вантажну, якщо початкова відстань між ними була 60 км ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість зближення:

62 км/год – 47 км/год = 15 км/год.

Якщо спочатку відстань між машинами була 60 км, то з кожною годиною ця відстань зменшуватиметься на 15 км, і врешті-решт легкова машина наздожене вантажну. Щоб дізнатися, через скільки годин це станеться, потрібно визначити, скільки разів 60 км містить по 25 км.

60 : 15 = 4 (год).

Дізнаємось, на якій відстані від початку руху, легкова машина наздогнала вантажну машину. Для цього помножимо швидкість легкової машини на час її руху до зустрічі.

62 ∙ 4 = 248 (км)

ВІДПОВІДЬ: 4 год, 248 км

ЗАДАЧА:

Мотоцикліст, швидкість якого 43 км/год, наздоганяє велосипедиста, швидкість якого 13 км/год. Через скільки годин мотоцикліст наздожене велосипедиста, якщо початкова відстань між ними була 120 км ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість зближення:

43 км/год – 13 км/год = 30 км/год.

Якщо початкова відстань між мотоциклістом і велосипедистом була 120 км, то з кожною годиною ця відстань зменшуватиметься на 30 км, і, зрештою, мотоцикліст наздожене велосипедиста. Щоб дізнатися, через скільки годин це відбудеться, потрібно визначити, скільки разів 120 км містить по 30 км:

120 : 30 = 4 (год).

Значить, через 4 години мотоцикліст наздожене велосипедиста.

ВІДПОВІДЬ: 4 год

ЗАДАЧА:

Велосипедист, швидкість якого 12 км/год, наздоганяє велосипедиста, швидкість якого становить 75% від його швидкості. Через 6 год другий велосипедист наздогнав велосипедиста, який їхав першим. Яка відстань була між ними спочатку ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Визначимо швидкість велосипедиста, який їхав попереду. Для цього знайдемо 75% від швидкості велосипедиста, який їхав позаду:

612 ∙ 0,75 = 9 (км/год).

Дізнаємося, скільки кілометрів проїхав кожен велосипедист до того, як другий наздогнав першого:

12 ∙ 6 = 72 (км),

9 ∙ 6 = 54 (км).

Дізнаємося, яка відстань була між ними спочатку. Для цього з відстані, пройденої другим велосипедистом (який наздоганяв) віднімемо відстань, пройдену першим велосипедистом (якого наздоганяли).

72 км – 54 км = 18 км.

ВІДПОВІДЬ: 18 км

ЗАДАЧА:

З пункту А виїхав велосипедист і їде в пункт В з середньою швидкістю 12 км/год. Через 2 год із цього самого пункту вирушив у тому самому напрямку другий велосипедист із швидкістю 18 км/год. Через скільки годин і на якій віддали від А другий велосипедист наздожене першого ?

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Яку віддаль проїхав перший велосипедист до виїзду другого ?:

12 × 2 = 24 (км).

На скільки кілометрів більше проїжджає за годину другий велосипедист, ніж перший:

18 – 12 = 6 (км).

Через скільки годин після виїзду другий велосипедист наздожене першого:

24 км : 6 км = 4 (час).

На якій віддалі від пункту А другий велосипедист наздожене першого ?:

18 × 4 = 72 (км).

ВІДПОВІДЬ:

4 год, 72 км.

ЗАДАЧА:

Перший турист проїхав 2 години велосипедом зі швидкістю 16 км/год. Відпочивши 2 години, він вирушив далі з колишньою швидкістю. Через 4 години після старту велосипедиста йому навздогін виїхав другий турист на мотоциклі зі швидкістю 56 км/год. На якій відстані від місця старту мотоцикліст наздожене велосипедиста ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай туристи вирушили з точки А. Тоді В – місце стоянки велосипедиста, далі за точкою В точка С – місце, де мотоцикліст наздогнав велосипедиста (точки А, В і С знаходяться на одній прямій). Нехай АС = S. Велосипедист проїхав цю відстань за ^s/₁₆ год, а мотоцикліст – за ^s/₅₆ год. Тоді з умови завдання:

^s/₁₆ – ^s/₅₆ = 2.

Звідки S = 44,8 км

ВІДПОВІДЬ: 44,8 км

Завдання до уроку 20

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 29 мая 2016 г.