Урок 12. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею

четверг, 26 мая 2016 г.

Урок 12. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею

ВІДЕОУРОК

ЗАДАЧА:

Хлопчик і дівчинка зібрали разом 60 штук грибів, причому, хлопчик зібрав на 12 грибів більше, ніж дівчинка. Скільки грибів зібрав кожний з них ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Насамперед зобразимо дві кошики з грибами.
Грибі зібрані дівчинкою, заповнили кошик вщерть, а через те що в хлопчика їх на 12 більше, то цей надвишок створює <<верх>> у кошику (як кажуть, кошик накладено з <<верхом>>).

Далі міркуємо так:

60 – це сума двох чисел, тобто число всіх зібраних грибів (вони лежать у двох кошиках).

12 – число грибів, на яке хлопчик зібрав більше, ніж дівчинка, тобто різниця двох чисел.

Треба знайти кожне з цих чисел, тобто число грибів, зібраних окремо хлопчиком і окремо дівчинкою.

Такий аналіз створює передумову для знаходження способу розв’язування, а сааме: легко було б визначити число грибів, зібраних дівчинкою, якби у хлопчика в кошику було грибів стільки, скільки й у дівчинки. А чи можна цього досягти ? Так, можна. Для цього треба << забрати >> з кошика, в якому лежать гриби, зібрані хлопчиком, надвишок грибів у кількості 12 штук. Коли би це зробили, тоді б число зібраних дітками грибів було б не 60, а

60 – 12 = 48.

Останнє число виражало б подвоєну кількість зібраних дівчинкою грибів. Звідси легко визначити спочатку кількість грибів, зібраних дівчинкою, а потім хлопчиком.

48 : 2 = 24,

24 + 12 = 36.

ЗАДАЧА:

Як поділити 24 цукерки між братом і сестрою так, щоб брат одержав на 2 цукерки більше, ніж сестра ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для начала зобразимо графічну схему:

З схемою очевидно наступне рішення:

24 – 2 = 22,

22 : 2 = 11,

11 + 2 = 13.

ЗАДАЧА:

На двох полицях було 80 книжок, причому на першій на 6 книжок більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Схематично умови задачі зручно ілюструвати відрізками.

1. Скільки книжок було б на обох полицях, якби на другій було стільки ж, як і на першій ?

80 – 6 = 74 (книжки).

2. Скільки книжок було на другій полиці ?

74 : 2 = 37 (книжок).

3. Скільки книжок було на першій полиці ?

37 + 6 = 43 (книжки).

ЗАДАЧА:

У двох шафах є 158 книжок. Після того як з однієї шафи переклали в іншу 20 книжок, у першій залишилось на 6 книжок більше, ніж у другій. Скільки книжок було в кожній з шаф до перекладання ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Щоб звести цю задачу до простіших, треба мати такі дані:

1. Суму двох чисел.

2. Різницю їх.

Суму двох чисел у задачі дано, а різницю хоч і дано, але в прихованому вигляді.

Отже, найближче завдання саме в тому і полягає, щоб знайти згадану різницю. Це можна зробити за допомогою схеми,

приміром так:

Число книжок у шафах спочатку схематично зображено двома відрізками АВ і МК, так що

АВ + МК = 158.

Якщо перекласти з першої шафи в другу 20 книжок, то відповідні числа книжок зобразяться схематично відрізками АС і КD.

Розглянемо схему тепер: попереднє перевищення (надвишок) книжок у першій шафі становить

FB = DC + CE + EF =

= 20 + 6 + 20 = 46.

Отже різниця даних чисел 46, а сума їх 158.

Тепер легко знайти самі числа.

158 – 46 = 112,

112 : 2 = 56,

56 + 46 = 112.

ВІДПОВІДЬ: 56, 102

ЗАДАЧА:

Два робітники мали разом 86 грн. Після того як перший робітник дав другому 10 грн, то у нього залишилося на 12 грн більше, ніж стало у другого робітника після того, як він одержав 10 грн. Скільки грошей було спочатку у кожного робітника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Внаслідок незначного зосередження уваги на змістові задачі встановлюємо, що більшу суму грошей мав перший робітник. Після цього малюємо діаграму.

На цій діаграмі відрізок АС позначає суму грошей, яку мав спочатку перший робітник, а відрізок ЕF – суму грошей, яку мав спочатку другий робітник. Тоді відрізок ВС графічно зображатиме різницю початкових сум грошей 1-го і 2-го робітників. Від відрізка АС <<відрізуємо>> 10 крб. – відрізок DС – і додаємо до відрізка ЕF. Різниця між сумами грошей після цієї операції графічно зображатиметься відрізком LD, який за умовою задачі відповідатиме 12 карбованцям.

При кожній операції збільшення та зменшення відрізків посилаємося на відповідну умову в задачі.

Після таких графічних операцій первісний надвишок суми грошей першого робітника порівняно з сумою грошей другого (відрізок ВС) поділяється на три частини, які відображають собою 10, 12 і 10 карбованців. Таким чином, початковий надвишок грошей у першого робітника становив 32 крб, отже, сума грошей другого робітника становить

(86 – 32) : 2 = 27 (крб),

а першого

27 + 32 =59 (крб).

ЗАДАЧА:

Кусок полотна довжиною 104 м треба розрізати на 2 таких частини, щоб перша була на 16 м більша, за другу. Скільки метрів полотна було в кожній частині ?

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Якби перша частина куска була за довжиною така сама, як друга, тобто на 16 м менша, ніж в дійсності, то весь кусок мав би

104 м – 16 м = 88 м.

Поділивши його, одержимо довжину другої частини:

88 м : 2 = 44 м.

Тоді перша частина має:

44 м + 16 м = 60 м.

ВІДПОВІДЬ:

60 м і 44 м.

Можна було б припустити, що друга частина така сама, як перша. Тоді мали б:

104 м + 16 м = 120 м.

120 м : 2 = 60 м.

60 м – 16 м = 44 м.

Можна цю задачу розв’язати і в такий спосіб. Шукані числа можуть бути зрівняні, якщо від більшого відняти і додати до меншого їх піврізницю. Отже:

104 м : 2 = 52 м.

16 м : 2 = 8 м.

52 м + 8 м = 60 м.
52 м – 8 м = 44 м.

ЗАДАЧА:

У першій коробці на 6 олівців більше, ніж у другій, а в двох разом 30 олівців. Скільки олівців у кожній коробці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виконаємо схематичний малюнок:

Якщо з першої коробки вийняти 6 олівців, у ній стане стільки ж олівців, скільки й у другій, а двох разом у 2 рази більше, ніж у другій:

30 – 6 = 24 (кар.).

Знайдемо число олівців у другій коробці:

24 : 2 = 12 (кар.).

Тепер повернемо 6 олівців у першу коробку, тобто знайдемо число олівців у першій коробці:

12 + 6 = 18 (кар.).

ВІДПОВІДЬ: 18 та 12 олівців

ЗАДАЧА:

Нехай відома сума двох чисел 206 та їх різниця 26. Знайти ці числа.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо різниця двох чисел 26, то одне число більше за інше на 26. Якщо зменшимо більше число на 26, то числа стануть рівними (перше більше стане дорівнює другому числу) та їх сума зменшиться на 26 і стане рівною:

206 – 26 = 180.

Якщо числа дорівнюють, а їх сума дорівнювала 180, то менше число дорівнює:

180 : 2 = 90.

Якщо друге менше число дорівнює 90, а перше на 26 більше, то перше число дорівнює:

90 + 26 = 116.

ПЕРЕВІРКА:

Якщо перше число дорівнює 116, а друге 90, їх сума дорівнює:

116 + 90 = 206.

Якщо перше число дорівнює 116, а друге 90, їх різниця дорівнює:

116 – 90 = 26.

Дві умови завдання виконані, отже, завдання вирішено правильно.

ВІДПОВІДЬ: перше число дорівнює 116, а друге 90.

ЗАДАЧА:

Провід 206 м треба розділити на дві частини так, щоб в одному шматку було більше, ніж в іншому на 26 м.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якою була довжина дроту, якби обидві частини були однакової довжини ?

Якщо зменшимо більший шматок на 26 м, то частини стануть рівними і їхня сума зменшиться на 26 м і стане рівною:

206 – 26 = 180 (м).

Якщо частини рівні, а їх сума дорівнювала 180 м, то менша частина дорівнює:

180 : 2 = 90 (м).

Якщо менший шматок 90 м, а перший на 26 м більший, то перший шматок дорівнює:

90 + 26 = 116 (м).

ПЕРЕВІРКА:

Якщо довжина першого шматка дроту дорівнює 116 м, а другого 90 м, їх сума дорівнює:

116 + 90 = 206 (м).

Якщо перший шматок дорівнює 116 м, а другий 90 м, їх різниця дорівнює:

116 – 90 = 26 (м).

Дві умови завдання виконані, отже, завдання вирішено правильно.

ВІДПОВІДЬ: перший шматок дорівнює 116 м, а другий 90 м.

ЗАДАЧА:

У двох пачках було 40 зошитів. Коли з першої пачки взяли 10 зошитів, то зошитів у пачках стало порівну. Скільки зошитів було в другій пачці спочатку ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо прибрати 10 зошитів із першої пачки, то всього буде:

40 – 10 = 30 (зошитів).

Якщо у двох пачках виявилося 30 зошитів та порівну, то у другій пачці було спочатку:

30 : 2 = 15 (зошитів).

ПЕРЕВІРКА:

Якщо у першій пачці було

15 + 10 = 25 (зошитів),

а в другому 15 зошитів, то їхня сума дорівнює:

25 + 15 = 40 (зошитів).

Якщо в першій пачці 25 зошитів, а в другій 15 зошитів, то їхня різниця дорівнює:

25 – 15 = 10 (зошитів).

Дві умови завдання виконані, отже, завдання вирішено правильно.

ВІДПОВІДЬ: у другій пачці спочатку було 15 зошитів

ЗАДАЧА:

У двох пачках було 70 зошитів. У першій пачки на 10 зошитів більше, ніж у другій. Скільки зошитів у другій пачці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо прибрати 10 зошитів із першої пачки, то всього буде:

70 – 10 = 60 (зошитів).

Якщо у двох пачках виявилося 60 зошитів та порівну, то у другій пачці було:

60 : 2 = 30 (зошитів).

ПЕРЕВІРКА:

Якщо у першій пачці було

15 + 10 = 25 (зошитів),

а в другому 15 зошитів, то їхня сума дорівнює:

25 + 15 = 40 (зошитів).

Якщо в другій пачці було 30 зошитів, а в першій на 10 зошитів більше, то в першій пачці було:

30 + 10 = 40 (зошитів).

Якщо в першій пачці було 40 зошитів, а в другому 30 зошитів, то їх сума дорівнює:

40 + 30 = 70 (зошитів).

Дві умови завдання виконані, отже, завдання вирішено правильно.

ВІДПОВІДЬ: у другій пачці 30 зошитів

Завдання до уроку 12

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 26 мая 2016 г.