Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників

понедельник, 26 января 2015 г.

Урок 14. Подібність рівнобедрених трикутників

ВІДЕОУРОК
Дві фігури подібні, якщо кожній точці однієї фігури можна зіставити точку іншої фігури так, що для будь-яких двох точок А і В однієї фігури і порівнянних їм точок А₁ і В₁ іншої фігури виконується умова

де k – одно і те ж позитивне число для усіх точок.

Число k – коефіцієнт подібності фігур.

Подібність рівнобедрених трикутників.

Рівнобедрені трикутники подібні, якщо вони мають

– по рівному куту при основі;

– по рівному куту при вершині.

Усі рівнобедрені прямокутні трикутники подібні.

Відношення периметрів подібних рівнобедрених трикутників дорівнює відношенню подібних сторін (коефіцієнту подібності):

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату відношенню відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).

При проведенні усіх трьох середніх ліній утворюється 4 рівні трикутники, подібних до початкового з коефіцієнтом ¹/₂.

ЗАДАЧА:

Кути при основі першого рівнобедреного трикутника дорівнюють кутам при основі другого рівнобедреного трикутника. Бічна сторона і основа першого трикутника дорівнюють відповідно 15 см і 18 см, а висота другого трикутника, проведена до основі, – 24 см. Чому дорівнює периметр другого трикутника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
АН = 18 : 2 = 9 (см),

Р₁ : Р = В₁Н₁ : ВН =

= 24 : 12 = 2,

Р₁ = 2Р =

= 2 ∙ (15 + 15 + 18) = 96 (см).

ЗАДАЧА:

Середина бічної сторони рівнобедреного трикутника віддалена від його основи на 9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до його основи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Трикутники ВDС і КLС – подібні.
BD = 2 ∙ 9 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції АВСD перетинаються в точці Е. Більша основа АD трапеції дорівнює 12 см,

АЕ = 15 см, ВЕ = 5 см.

Знайдіть меншу основу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСD (АВ ∥ ВС) – задана трапеція,

АD = 12 см, АЕ = 5 см.
∆ ВЕС~ ∆ АЕD,
ВІДПОВІДЬ: 4 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику АВС відомо, що

АВ = ВС = 13 см,

АС = 10 см.

До кола, вписаного в цей трикутник, проведено дотичну, яка паралельна основі АС і перетинає сторони АВ і ВС у точках М і К відповідно. Обчисліть площу трикутника МВК.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Відстань FL між паралельними прямими АС і МК дорівнює діаметру вписаного кола. Знайдемо його. За формулою Герина
З формули S = pr знайдемо r,
LF = 2r = ²⁰/₃ (см).

Знайдемо висоту ВF трикутника АВС.

¹/₂ AC∙ BF = S = 60 (см²),

¹/₂∙ 10∙ BF = 60,

BF = 12 (см),

BL = BF – LF = 12 – ²⁰/₃ =

= 12 – 6²/₃ = 5¹/₃ (см).

Оскільки MK ∥ АC, то

∆ ABC ~ ∆ MBK.

Звідки маємо:

ВІДПОВІДЬ: 11²³/₂₇ см².

ЗАДАЧА:

Два кола з центрами О₁ і О₂, радіуси яких дорівнюють 10 см і 16 см відповідно, мають зовнішній дотик у точці С. Пряма, яка проходіть через точку С, перетинає коло з центром О₁ у точці А, а інше коло – у точці В. Знайдіть хорди АС і ВС, якщо АВ = 39 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Розглянемо трикутники САО₁ і СВО₂. Вони рівнобедрені і

∠ О₁СА = ∠ О₂СВ.

Отже, ∆ САО₁~ ∆ СВО₂.

Нехай АС = х см.

Тоді ВС = (39 – х) см.
16х = 390 – 10х,

26х = 390, х = 15.

Отже, АС = 15 см,

ВС = 39 – 15 = 24 (см).

ВІДПОВІДЬ: 15 см, 24 см.

ЗАДАЧА:

Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 40 см, а висота, проведена до неї, – 15 см. Знайдіть відстань між точками дотику кола, вписаного у трикутник, з його бічними сторонами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВС – рівнобедрений трикутник,
АС – його основа,

АС = 40 см,

ВР – висота трикутника, ВР = 15 см,

D, К і Р – точки дотику вписаного кола з центром О і з відповідними сторонами трикутника.

АР = АС : 2 =

= 40 : 2 = 20 (см).

З прямокутного трикутника АРВ (∠ Р = 90°):

АО – бісектриса кута А трикутника АВР. За властивістю бісектриси маємо:

5РО = 60 – 4РО,

9РО = 60, РО = ²⁰/₃ см.

ВО = 15 – ²⁰/₃ = ²⁵/₃ (см).

З прямокутного трикутника ОDВ (∠ D = 90°) маємо:

ВО = ²⁵/₃ см,

ОD = ОР = ²⁰/₃ см,
Аналогічно ВК = 5 см. Отже,

∆ АВС~ ∆ DВК.

Звідки одержимо:

АВ : АС = DВ : DК,

25 : 40 = 5 : DК,

DК = 40 ∙ 5 : 25,

DК = 8 (см).

ВІДПОВІДЬ: 8 (см)

ЗАДАЧА:

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 40 см, а висота, проведена до основи, – 4√͞͞͞͞͞91 см. Знайдіть відстань між точками перетину бісектрис кутів при основі трикутника з його бічними сторонами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВС – заданий рівнобедрений трикутник.
АВ = ВС = 40 см,

ВЕ – його висота,

ВЕ = 4√͞͞͞͞͞91 см,

О – точка перетину бісектрис

АL і СК.

З прямокутного трикутника АЕВ (∠ Е = 90°) одержимо:

АС = 24 см.

За властивістю бісектриси трикутника маємо:

Тоді

ВL = ⁵/₈ВС = 25 (см).

Аналогічно ВК = 25 см. Трикутники КВL і АВС – рівнобедрені зі спільним кутом при вершині. Отже,

∆ КВL ~ ∆ АВС.

Тоді
ВІДПОВІДЬ: 15 см

ЗАДАЧА:

Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів ї точкою перетину ділиться у відношенні 5 : 13. Знайдіть площу трапеції, якщо її висота дорівнює 9 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСD (ВС ∥ АD, ВС < АD) – задана трапеція.
АВ = СD,

ВF = СК = 9 см – її висоти.

Діагональ АС – бісектриса кута ВАD, тому

∠ ВАС = ∠ САD,

∠ САD = ∠ АСВ

як внутрішні різнобічні для паралельних прямих ВС та АD та дотичної АС. Звідки

∠ ВАС = ∠ АСВ.

Отже, ∆ АВС – рівнобедрений,

ВС = АВ.

Звідки

АВ = ВС = СD.

Якщо О – точка перетину діагоналей, то за умовою

ВО : ОО = 5 : 13.

∆ BOC ~ ∆ DOA за двома кутами. Тоді
Нехай BC = 5x,

тоді AD = 13x.

Отже AB = CD = 5x.

Оскільки BF і CK – висоти,то BC = FK,
З ∆ АFВ (∠ F = 90°):

BF² = AB² – AF²,

81 = 25x² – 16x²,

81 = 9x², x = 3.

BC = 5 ∙ 3 = 25 (см),

AD = 13 ∙ 3 = 39 (см).

ВІДПОВІДЬ: 243 см²

Завдання до уроку 14

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 26 января 2015 г.