среда, 28 января 2015 г.

Урок 13. Подібність різносторонніх трикутників

ВІДЕОУРОК
Відношення відрізків 
АВ  і  СD – відношення їх довжин тобто.
– відношення відрізків  АВ  і  СD.

ПРИКЛАД:

Відрізки завдовжки  2 см  і  3 см  пропорційні відрізкам завдовжки  4 см  і  6 см, оскільки
Пропорційними можуть бути не лише пари відрізків, але і більше їх число.

ПРИКЛАД:

Відрізки  а, b, с, d  пропорційні відрізкам  а1, b1, с1, d1, якщо
Подібні сторони – сторони трикутників, у яких протилежні до них кути відповідно рівні.

Два трикутники називають подібними, якщо в них відповідні кути рівні й відповідні сторони пропорційні.

ПРИКЛАД:

Якщо  А = А1
В = В1, С = С1,
то  АВС ~ А1В1С1Подібність трикутників   

АВС  і  А1В1С1 

коротко записують так:

АВС  ~ А1В1С1.

Знак  замінює слово подібний. 
Дві фігури подібні, якщо кожній точці однієї фігури можна зіставити точку іншої фігури так, що для будь-яких двох точок  А  і  В  однієї фігури і порівнянних їм точок  А1  і  В1  іншої фігури виконується умова
де  k – одно і те ж позитивне число для усіх точок.
Число  k – коефіцієнт подібності фігур.
Прикладами подібних фігур довільної форми є дві географічні карти однієї і тієї ж місцевості, виконані в різних масштабах; фотографії одного і того ж предмета, зроблені при різних збільшеннях.
Якщо коефіцієнт подібності відомий, то записують:
Для подібних трикутників має значення порядок запису вершин.

Щоб скласти відношення сторін подібних трикутників потрібно:

визначити рівні кути трикутників;
з'ясувати, які сторони є відповідними;
записати відповідні рівності.

ОЗНАКИ ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ

Два трикутники подібні між собою  ( АВС  ~ А1В1С1), якщо:

два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника;
дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні до двох сторін іншого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, рівні;
три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника;
де  k – коефіцієнт подібності.

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює відношенню відповідних сторін (коефіцієнту подібності):
Відношення відповідних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот тощо) подібних трикутників теж дорівнює коефіцієнту подібності.
Пряма, яка паралельна до сторони трикутника і перетинає дві інші його сторони, відтинає від нього подібний йому трикутник. Середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній чверті всього загального трикутника.

Відношення подібних лінійних елементів (медіан, бісектрис, висот і так далі) подібних трикутників теж дорівнює коефіцієнту подібності.

Відношення площі подібних трикутників дорівнює квадрату відношення відповідних сторін (квадрату коефіцієнта подібності).
Правильні  n – косинці подібні. Відношення їх периметрів, радіусів вписаних і описаних кіл дорівнює відношенню їх сторін, а відношення їх площ – відношенню квадратів сторін.

Площі подібних фігур пропорційні квадратам подібних лінійних елементів (сторін, висот, діагоналей).

ЗАДАЧА:

АВС ~ А1В1С1.
Знайти невідомі сторони трикутників, якщо

АВ = 18 см, АС = 16,4 см,

А1В1 = 9 см, В1С1 = 7 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже,
Звідси 

BC = 2В1С1,

BC = 2 7 = 14 (см).

A1С1 = AC : 2,

A1С1 = 16,4 : 2 = 8,2 (см).

ВІДПОВІДЬ:  14 см, 8,2 см

ЗАДАЧА:

На стороні  АС  трикутника  АВС  позначено точку  D  так, що 

АВD = АСВ.

Знайдіть відрізок  АD, якщо 

АВ = 6 см, АС = 18 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
ABC ~ ∆ AВD 

(кут А – спільний, АВD = С).

Тоді:
AD = 2 (см).

ЗАДАЧА:

На стороні  ВС  трикутника  АВС  позначено точку  К  так, що 

САК = АВС,

ВК = 12 см, КС = 4 см.

Знайдіть сторону  АС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
АВС ~ ∆ КАС  (за двома кутами).
АС2 = ВС КС =

= (12 + 4) 4 = 64,

АС = 8 (см).

ЗАДАЧА:

Діагоналі трапеції  ABCD  (AD BC)  перетинаються в точці  О.

ВО : ОD = 2 : 7,

ВС = 18 см.

Знайдіть основу  AD  трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
ВОС ~ ∆ DАО
АD = 63 см.

ЗАДАЧА:

Пряма, паралельна стороні  АС  трикутника  АВС, перетинає сторону  АВ  у точці  М, а сторону  ВС – в точці  К. Знайдіть площу трикутника  АВС, якщо

ВМ = 3 см, АМ = 4 см,

а площа чотирикутника  АМКC  дорівнює  80 см2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
SABC = x,
x = 98 (см2).

ЗАДАЧА:

У колі проведено хорди  АК  і  ВМ, які перетинаються в точці  С. Знайдіть відрізок  КМ, якщо 

АВ = 4 см,

ВС = 2 см,

КС = 8 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
В = К = 1/2 АМ,

КСМ = ВСА – як вертикальні.

АВС ~ ∆ МКС.
КМ = 16 см.

ЗАДАЧА:

У трапеції  ABCD  відомо, що  BC AD, Kточка перетину діагоналей,

 АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

Знайдіть діагональ  BD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ABCDтрапеція,
BC AD, АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

BK = DK – 15.

AКD ~ ∆ ВКС
5DK = 135, DK = 27 (см).

BK = DK – 15 = 27 – 15 = 12 (см).

BD = BK + КD = 12 + 27 = 39 (см).

ВІДПОВІДЬ:  39 см

ЗАДАЧА:

Продовження бічних сторін  АВ  і  СD  трапеції  АВСD  перетинаються в точці  K. Більша основа  АD трапеції дорівнює  18 см, АК = 24 см, АВ = 16 см. Знайдіть меншу основу трапеціє.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
ВКС ~ ∆ AКD
ЗАДАЧА:

Через точку  О  перетину діагоналей трапеції  ABCD  проведено пряму, яка перетинає основи  AD  і  BC  у точках  Е  і  F  відповідно. Знайдіть відрізок  ВF, якщо

DЕ = 15 см

ОА : ОС = 3 : 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
FCO ~ ∆ EAO
EOD ~ ∆ FOB
ЗАДАЧА:

У трикутник  АВС  вписано ромб  АМКР  так, як показано на рисунку.
Знайдіть сторону ромба, якщо

АВ = 18 см, АС = 12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай сторона ромба дорівнює  х.

Тоді  РС = 12 – х.

АВС ~ ∆ РКС
18(12 – х) = 12х,

х = 7,2 (см).

ЗАДАЧА:

Продовження бічних сторін  АВ  і  СD  трапеції  АВСD  перетинаються в точці  F

АВ : BF = 3 : 7,

АDбільша основа трапеції. Різниця основ трапеції дорівнює  6 см. Знайдіть основу  АD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
ВFС ~ ∆ AFD
BC = 7x,

АD = 10x,

10x – 7x = 6,

3x = 6, x =2.

АD = 20 см

ЗАДАЧА:

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють  20 см  і  28 см, а бічна сторона – 5 см. Знайдіть площу трапеції, подібної до даної, висота якої дорівнює  12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD – дана рівнобічна трапеція, у якої
ВС = 20 см,
АD = 28 см,
АВ = 5 см.

Проведемо 

BN AD, CK AD,

∆ ABN = ∆ DCK

 (як прямокутні за гіпотенузою і катетом).

NВСК – прямокутник.

АN = KD = 

= (28 – 20) : 2 = 4 (см).

Із прямокутного трикутника  АВN  за теоремою Піфагора

AB2 = BN2 + AN2.
ВІДПОВІДЬ:  1152 см2

ЗАДАЧА:

Непаралельні сторони трапеції продовжені до взаємного перетину і через отриману точку проведено пряму, паралельну основам трапеції. Знайти відрізок АВ, якщо основи трапеції рівні  a  і  b (a ˃ b) 

DE = a, MN = b.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

DME ~ AMC;

DNE ~ CNB;

MNE ~ ACE;

Звідки
тому
і тоді
Тому,
Завдання до уроку 13

Комментариев нет:

Отправить комментарий