Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Яке б не було число х, за абсолютною величиною менше або дорівнює одиниці, маємо:

Нехай

arcsin x = α.

З цієї рівності випливає, що

sin α = x  і  – ^π/₂ ≤ α ≤ ^π/₂.

Але  cos (^π/₂ – α)  також дорівнює х, оскільки

cos (^π/₂ – α) = sin α.

На підставі цього маємо:

cos (^π/₂ – α) = x.

Але  –α  укладено в тому ж проміжку, що й  α:

– ^π/₂ ≤ –α ≤ ^π/₂.

Додаючи по  ^π/₂  до всіх членів цього співвідношення, отримаємо

0 ≤  ^π/₂ – α ≤ π.

Зі співвідношень 

cos (^π/₂ – α) = x, 

0 ≤  ^π/₂ – α ≤ π 

випливає, що

arccos x = ^π/₂ – α.

Складаючи почленно рівності

arcsin x = α, 

arccos x = ^π/₂ – α,

отримаємо:

arcsin x + arccos x = ^π/₂,

що й потрібно було довести.

Яке б не було число  х, маємо:

Вважаючи

arctg x = α,

знаходимо:

tg α = x  і  – ^π/₂ < α < ^π/₂.

Але  ctg (^π/₂ – α)  також дорівнює  х, оскільки

ctg (^π/₂ – α) = tg α.

З нерівності

– ^π/₂ < α < ^π/₂

слід::

0 ≤  ^π/₂ – α ≤ π,

а оскільки котангенс кута  ^π/₂ – α  дорівнює  х, маємо:

arcсtg x = ^π/₂ – α.

Складаючи рівності

arctg x = α, 

arcctg x = ^π/₂ – α ,

отримаємо:

arctg x + arcctg x = ^π/₂,

Основні співвідношення для зворотних тригонометричних функцій.

–1 ≤ х ≤ +1.

ПРИКЛАД:

sin (arcsin ¹/₂) = ¹/₂.

sin (arcsin 1) = 1.

ПРИКЛАД:

Не можна писати

sin (arcsin 1,2) = 1,2,

бо вираз  arcsin 1,2  не має сенсу.

–1 ≤ х ≤ +1.

ПРИКЛАД:

cos [arccos (–0,79)] = –0,79.

–∞ < х < +∞.

ПРИКЛАД:

tg (arctg 123) = 123.

–∞ < х < +∞.

ПРИКЛАД:

ctg [arcctg (–798)] = –798.

– ^π/₂ ≤ х ≤ + ^π/₂.

ПРИКЛАД:

Знайти

arcsin (sin 2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Потрібно знайти кут, що лежить в межах від  – ^π/₂ < до < ^π/₂, синус якого дорівнює  sin 2. Зауважимо, що якщо кут  х  задовольняє нерівності

– ^π/₂ ≤ х ≤ + ^π/₂,

то рівність  arcsin (sin х) = х  справедлива. А якщо ні, то остання рівність не має місця. У нашому ж випадку

^π/₂ < 2 < π.

Застосувавши формулу наведення отримаємо

sin 2 = sin (π – 2).

Тепер уже кут  π – 2  задовольняє нерівності

– ^π/₂ < π – 2 ≤  ^π/₂,

і тому можна писати:

arcsin [sin (π – 2)] = π – 2.

Отже,

arcsin (sin 2) = π – 2.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

arcsin (sin ^8π/₇).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Число  ^8π/₇  не належить відрізку  [–^π/₂; ^π/₂]. Тому замінимо  sin ^8π/₇  синусом числа з відрізка  [–^π/₂; ^π/₂]. Так як

sin ^8π/₇ = sin (π + ^π/₇) =

– sin ^π/₇ = sin (–^π/₇)  то

arcsin (sin ^8π/₇) = –^π/₇.

0 ≤ х ≤ π

ПРИКЛАД:

Обчислити:

arccos (cos ^9π/₈).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Число  ^9π/₈  не належить відрізку  [0; π]. Тому необхідно знайти на відрізку  [0; π]  таке число, косинус якого дорівнює  cos ^9π/₈. Так як

cos (π + β) = cos (π – β), то

cos ^9π/₈ = ^7π/₈, где  0 ≤ ^7π/₈ ≤ π. Тому

 arccos(cos ^9π/₈) = arccos(cos ^7π/₈) = ^7π/₈.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

arccos (cos 6).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як  ^3π/₂ < 6 < 2π, то 

–2π  < –6 < –^3π/₂  і 

0 < 2π  – 6 < ^π/₂,

cos(2π  – 6) = cos 6.

Тому

arccos (cos 6) = arccos (cos (2π  – 6)) = 2π  – 6.

– ^π/₂ < х < + ^π/_2.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

arctg(tg ^5π/₈).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як  tg ^5π/₈ = – tg ^3π/₈ =

= tg (–^3π/₈)  і

– ^π/₂ < –^3π/₈ < ^π/₂  то

 arctg(tg ^5π/₈) = –^3π/₈.

0 < х < π.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

arcctg [ctg(–^π/₅)].

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як 

сtg (–^π/₅) = –сtg ^π/₅ = сtg ^4π/₅  і

0 < ^4π/₅ < π  то

 arсctg[ctg(–^π/₅)] = ^4π/₅.

Розглянемо функцію

у = sin(2 arcsin х).

Позначивши  arcsin х  через α, матимемо

sin 2α = 2 sin α cos α,

звідки

sin (2 arcsin x) =

= 2 sin(arcsin x) cos (arcsin x) =

|х| ≤ 1.

ПРИКЛАД:

sin (2 arcsin (–¹/₂)) =

Маємо:

cos (2 arccos x) =

= cos² (arccos x) – sin² (arccos x) =

= x² – (1 – x²) = 2x² – 1.

ПРИКЛАД:

tg (2 arctg 2) =

ПРИКЛАД:

соs (2 arcсоs ³/₅) =

= 2(³/₅)² – 1 =

= ¹⁸/₂₅ – 1 = –⁷/₂₅.

ПРИКЛАД:

соs (¹/₂ arcсоs ¹/₂) =

Формули складання та віднімання для зворотних тригонометричних функцій.

ПРИКЛАД:

Знайти значення виразу

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як

то, застосовуючи формулу

отримаємо

ПРИКЛАД:

Знайти значення виразу

arctg ¹/₃ + arctg ¹/₅ + arctg ¹/₇ + arctg ¹/₈.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Враховуючи що

¹/₃ ∙ ¹/₅ < 1  і  ¹/₇ ∙ ¹/₈ < 1,

зробимо, згідно з формулою

додавання:

arctg ¹/₃ + arctg ¹/₅ =

 arctg ⁴/₇

arctg ¹/₇ + arctg ¹/₈ =

Тоді

arctg ⁴/₇ + arctg ³/₁₁ =

(⁴/₇ ∙ ³/₁₁< 1).

Формули подвоєння для зворотних тригонометричних функцій.

Формули, які слід запам'ятати.

Завдання до уроку 28.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень