Урок 19. Теорема Вієта

Залежність між коефіцієнтами і коренями квадратного рівняння.

Між коефіцієнтами і коренями зведеного квадратного рівняння

х² + px + q = 0

існують такі залежності:

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.

Ці залежності відомі під назвою формул Вієта.

Якщо 

p² – 4q = 0, то рівняння 

x²  + px + q = 0  

має один корінь.

Тому часто вважають, що дане рівняння має два рівних корені. Теорема Вієта правильна і для цього випадку, оскільки

Кожне квадратне рівняння виду 

aх² + bx + c = 0  

(а ≠ 0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню

Тому якщо таке рівняння має корені  х₁  і  х₂, то

ПРИКЛАД:

Рівняння:

х² + 2х – 80 = 0

має корені 

х₁ = 8, х₂ = –10,

оскільки  

х₁ + х₂ = 8 – 10 = –2;

х₁× х₂ = 8×(– 10) = –80.

ПРИКЛАД:

Рівняння:

х² + 9х + 14 = 0

має корені 

х₁ = –2, х₂ = –7,

оскільки  

х₁ + х₂ = –2 + (–7) = –9;

х₁× х₂ = (– 2)×(–7) = 14.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть рівняння:

x² + 12x + 11 = 0.

Якщо рівняння має цілі корені, то їх добуток дорівнює  11. Це можуть бути числа  1  і  11  або  –1  і  –11. Другий коефіцієнт рівняння додатний, тому корені від’ємні.

ВІДПОВІДЬ:

х₁ = –1,    х₂ = –11.  

Теорема, обернена до теореми Вієта.

Якщо сума і добуток чисел  m  і  n   дорівнюють відповідно  –p  і  q, 

то  m  і  n –  корені рівняння

x²  + px + q = 0.

З теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння 

x² + px + q = 0 

є дільниками числа  q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевіряти, чи є та чи інша пара чисел коренями зведеного квадратного рівняння, чи ні. Це дає можливість усно розв’язувати багато таких рівнянь.

ПРИКЛАД:

Скласти квадратне рівняння, що має корені  5  і  –6. Тут

х₁ + х₂ = 5 + (–6) = –1;

х₁× х₂ = 5×(–6) = –30.

Отже, p = 1, q = –30.

Одержуємо рівняння:

x² + x – 30 = 0.

Для квадратного рівняння 

ax² + bx + c = 0 

існують залежності

ПРИКЛАД:

Рівняння:

4x² + 25x – 21 = 0

має корені

ПРИКЛАД:

Скласти квадратне рівняння, корені якого були б оберненими до коренів рівняння:

ax² + bx + c = 0.

Перепишемо дане рівняння так:

Нехай його коренями будуть   х₁  і  х₂. Тоді

За умовою, коренями шуканого рівняння будуть:

Щоб одержати його коефіцієнти, обчислимо:

Рівняння буде мати вигляд:

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

x² – 9x + 14 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спробуємо знайти два числа  х₁  та  х₂  такі, що

х₁ + х₂ = 9,

х₁∙ х₂ = 14.

Такими числами є  2  і  7, вони і є корінням заданого рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

x² + 3x – 28 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спробуємо знайти два числа  х₁  та  х₂  такі, що

х₁ + х₂ = 9,

х₁∙ х₂ = 14.

Такими числами є  4  і  –7, вони і є корінням заданого рівняння.

ПРИКЛАД:

Знайдіть суму коренів рівняння:

2х² + 18x – 5 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2х² + 18x – 5 = 0,

х² + 9x – 2,5 = 0,

D = 9² + 10 > 0,

Відповідно до теореми Вієта

х₁ + х₂ = –9.

ПРИКЛАД:

Знайдіть суму коренів рівняння:

х⁴ – 3x² – 4 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  t = х², тоді

t² – 3t – 4 = 0.

За теоремою, зворотною до теореми Вієта, маємо:

 t₁ = 4, t₂ = –1 – не підходить.

Тому, х² = 4, звідки

х₁ = –2, х₂ = 2.

Сума коренів

х₁ + х₂ = –2 + 2 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  0

ПРИКЛАД:

Складіть квадратне рівняння, коріння якого більше за коріння рівняння

х² + 3x – 7 = 0

на одиницю.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х₁ + х₂ = –3,

х₁х₂ = –7.

Нехай  t₁  і  t₂ – коріння рівняння, яке треба скласти.

х² + bx + c = 0,

тоді 

t₁ = х₁ + 1, t₂ = х₂ + 1, а

t₁ + t₂ = –b,

b = –(х₁ + 1 + х₂ + 1) =

= –(х₁ + х₂ + 2) = –(–3 + 2) = 1,

t₁ t₂ = с, с = (х₁ + 1)(х₂ + 1) =

= х₁х₂ + (х₁ + х₂) + 1 =

= –7 – 3 + 1 = –9.

Рівняння, яке треба скласти, буде наступним:

х² + x – 9 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  х² + x – 9 = 0

ПРИКЛАД:

Складіть квадратне рівняння, коріння якого на  4  більше, ніж коріння рівняння

х² – 2x – 4 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х₁ + х₂ = 2,

х₁х₂ = –4.

Нехай  t₁  і  t₂ – коріння рівняння, яке треба скласти

х² + bx + c = 0,

тоді

t₁ = х₁ + 4,

t₂ = х₂ + 4, а

t₁ + t₂ = –b,

b = –(х₁ + 4 + х₂ + 4) =

= –(х₁ + х₂ + 8) = –(2 + 8) = –10,

t₁ t₂ = с, с = (х₁ + 4)(х₂ + 4) =

= х₁х₂ + 4(х₁ + х₂) + 16 =

= –4 + 4 ∙ 2 + 16 = 20.

Шукане рівняння:

х² – 10x + 20 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  х² – 10x + 20 = 0

ПРИКЛАД:

Відомо, що  х₁  і  х₂ – коріння рівняння

х² – 10x + 12 = 0.

Не вирішуючи це рівняння, знайдіть значення виразу:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х₁ + х₂ = 10,

х₁х₂ = 12.

Так як

х₁² + х₂² = х₁² + х₂² + 2х₁х₂ – 2х₁х₂ =

= (х₁ + х₂)² – 2х₁х₂ = 100 – 24 = 76,

ПРИКЛАД:

Відомо, що  х₁  і  х₂ – коріння рівняння

х² + 5x – 13 = 0.

Не вирішуючи це рівняння, знайдіть значення виразу:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х₁ + х₂ = –5,

х₁х₂ = –13.

(х₁ + х₂)² = (–5)²,

х₁² + х₂² + 2х₁х₂ = 25,

х₁² + х₂² = 25 – 2х₁х₂,

= 25 – 2 ∙ (–13) = 51,

ПРИКЛАД:

Відомо, що  х₁  і  х₂ – коріння рівняння

х² + 6x – 14 = 0.

Знайдіть значення виразу

5х₁ + 5х₂ – 3х₁х₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми Вієта

х₁ + х₂ = –6,

х₁х₂ = –14.

5х₁ + 5х₂ – 3х₁х₂ =

= 5(х₁ + х₂) – 3х₁х₂ =

= 5(–6) – 3(–14) =

= –30 + 42 = 12.

ПРИКЛАД:

Знайдіть коріння квадратного рівняння:

х² – 8x + 7 = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спробуємо знайти два числа  х₁  і  х₂  такі, що

Вирішимо цю систему рівнянь:

х₁ = 8 – х₂,

(8 – х₂)∙ х₂ = 7,

–х₂² + 8х₂ – 7 = 0,

х₂² – 8х₂ + 7 = 0,

х₁ = 7,  х₂ = 1, 
Такими числами є  1  і  7, вони і є корінням заданого рівняння.

Завдання до уроку 19

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 30. Перетин прямої з колом
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння