Урок 21. Перетворення виразів, що містять степеня з позитивними дробними показниками

четверг, 23 февраля 2017 г.

Урок 21. Перетворення виразів, що містять степеня з позитивними дробними показниками

Степенем позитивного числа з раціональним показником

де m – ціле число, а n – натуральне (n > 1), називають корінь n-го степеня з числа a^m.
ПРИКЛАД:
Якщо а > 0 і х – довільне дробове число, подане у виглядіде m – целое, а n – натуральне, то:

Якщо а = 0 і х – дробове позитивне число, то:

a^x = 0.

Формулу

в елементарній математиці звичайно розглядають тільки при а ≥ 0, оскільки при від’ємних значеннях вираз

а отже, і

може не мати значення (в множині дійсних чисел). Дробові показники можуть бути будь-якими раціональними числами.

ПРИКЛАД:

Такі вирази, як:

немає сенсу.

Те саме дробове число можна представити у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником різними способами.

ПРИКЛАД:

Дробове число 0,75 можна подати у вигляді дробу так:

і так далі

Значення степеня з дробовим показником залежить від вибору способу запису числа x як дробу; представляючи дробове число х як ставлення цілого числа до натурального різними способами, завжди отримуватимемо той самий результат.

ПРИКЛАД:

Нехай а > 0. Тоді
і значить,a ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2.

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:
Якщо основи степенів позитивні, то властивості степеня з цілим показником залишаються справедливими і для степенів з будь-яким дробовим показником.

Дії над степенями з будь-якими раціональними показниками виконують за тими самими правилами, що й дії над степенями з натуральними показниками.

Для будь-яких раціональних u та v та дійсного a > 0 вірні рівності: