Площадь круга равна половине произведения длины окружности, которая его ограничивает, на радиус.
ЗАДАЧА:
Длина окружности равна
6π
см. Найдите площадь круга.
РЕШЕНИЕ:
2πr = 6π, r = 3 см.
S =
πr2 = π ∙ 32 = 9π (см2).
ЗАДАЧА:
Радиусы двух окружностей относятся как 4
: 9. Как относятся площади кругов, ограниченных этими окружностями
?
Найдите длину окружности которая
ограничивает круг, площадью 100π см2.
РЕШЕНИЕ:
πr2 = 100π, r2 = 100, r = 10 (cм).
l = 2πr = 2π ∙ 10 = 20π (cм).
ЗАДАЧА:
Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со
сторонами
4
см, 13 см и 15 см.
РЕШЕНИЕ:
ВС = 13 см,
р – его полупериметр.Тогда площадь круга:
S =
πr2 = π ∙ 1,52 = 2,25π (см2).
ОТВЕТ: 2,25π см2
ЗАДАЧА:
Найти радиус такой окружности, для которой её длина и
площадь круга выражаются одним и тем же числом.
РЕШЕНИЕ:
Обозначим радиус искомой окружности через R.
Тогда по условию задачи должно выполняться равенство
2πR = πR2
откуда найдем
R = 2.
ЗАДАЧА:
Определить площадь круга, если площадь вписанного в него
квадрата равна Q квадратным единицам.
РЕШЕНИЕ:
Площадь квадрата через его диагональ выражается формулой
Q = 1/2 d 2,
откуда
d = √͞͞͞͞͞2Q
Но диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности,
то есть
2R = √͞͞͞͞͞2Q,
следовательно, площадь круга
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
Pсект = AB + OA + OB
= l + 2R,
где l – длина дуги сектора. На основании формулы
l = R ∙ α,
получим:
Pсект = Rα + 2R = R(α + 2).
ЗАДАЧА:
Вычислить периметр
Р кругового сектора с центральным углом в 75° и радиусом, равным 20
см.
РЕШЕНИЕ:
Так как угол в 75° содержит 1,31 радиана (смотрите таблицу), то:
R – радиус круга,
Радиус сектора равняется
r, а его площадь равна Q.
Определить величину центрального угла.
РЕШЕНИЕ:
n° – градусная мера соответствующего
центрального угла,
φ – радианная
мера соответствующего центрального угла.
ЗАДАЧА:
Вычислить площадь S кругового сектора
с центральным углом в 75° и радиусом,
равным 20
см.
РЕШЕНИЕ:
Так как угол в 75° содержит 1,31 радиана (смотрите таблицу), то:
Sсект ≈ 1/2 ∙ 202 ∙ 1,31 ≈ 262 см2.
ЗАДАЧА:
Вычислить площадь S кругового сектора
при данном радиусе R = 25
см и центральным угле, равным 42°24'.
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
Sсект ≈ 1/2 ∙ 252 ∙
0,7400 ≈
Площадь кольца, образованного двумя концентрическими окружностями радиусов R1 и R2 , вычисляется как разность площадей этих кругов. Пусть R2 ˃ R1, тогда:
ЗАДАЧА:
Вокруг правильного треугольника с площадью Q
описана окружность и в этот самый треугольник вписана другая окружность.
Определить площадь кольца между этими окружностями.
РЕШЕНИЕ:
R = 2/3h; r = 1/3h.
1. Длину хорды АВ.
2. Расстояние этой
хорды от центра круга.
3. Длину стрелки
(высоты) h.
4. Площадь сегмента
АСВМА.
При условии, что
радиус круга равен R,
а центральный угол АОВ равен α (радианов).
1. Хорда АВ = 2АС (ОС
⊥ АВ),
или
АВ = 2АО sin ∠ АОС = 2R sin π/2.
2. Расстояние ОС хорды АВ от центра
выразится так:
ОС =
ОА cos ∠ АОС,
или
ОС = R cos α/2.
3. Стрелка сегмента
h = ОМ – ОС,
или
h = R – R cos α/2 = R(1 – cos α/2),
или
h = 2R sin2 α/4.
4. Площадь
сегмента АСВМА:
SсегмАСВМА = SсектАМВОА – S∆АВО =
= 1/2 R2α – 1/2 АВ ∙ ОС.
Подставляя
вместо АВ и ОС их значения,
получим:
SсегмАСВМА = 1/2 R2α – 1/2 ∙ 2R sin α/2 R cos α/2 =
= 1/2 R2α – R2 sin α/2 cos α/2 =
= R2 (1/2 α – sin α/2 cos α/2),
или
SсегмАСВМА = 1/2 R2(α – sin α).
ЗАДАЧА:
Вычислить площадь сегмента, если R = 20 см и α = 47°10'.
РЕШЕНИЕ:
Из таблиц находим радианную меру угла 47°10', значения
sin 23°35' и cos 23°35'.
Искомая площадь S выразится так:
S ≈ R2 (1/2 α – sin α/2 cos α/2) ≈
- Урок 1. Единицы измерения площади
- Урок 2. Площадь прямоугольника
- Урок 3. Площадь квадрата
- Урок 4. Площадь треугольника
- Урок 5. Площадь прямоугольного треугольника
- Урок 6. Площадь равнобедренного треугольника
- Урок 7. Площадь параллелограмма
- Урок 8. Площадь ромба
- Урок 9. Площадь трапеции
- Урок 10. Площадь равнобедренной трапеции
- Урок 11. Площадь прямругольной трапеции
- Урок 13. Подобие разносторонних треугольников
- Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников
- Урок 15. Подобие прямоугольных треугольников
- Урок 16. Площадь многоугольника
Комментариев нет:
Отправить комментарий