среда, 18 марта 2015 г.

Урок 6. Площадь равнобедренного треугольника

ВИДЕОУРОК
Для любого равнобедренного треугольника имеют место такие соотношения.
где  а = b, – боковые стороны.

Площадь равностороннего треугольника:

ЗАДАЧА:

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая до боковой стороны, делит её на отрезки  1 см  и  12 см, считая от вершины угла при основании. Найдите площадь треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВС = АВ = 1 + 12 = 13 (см).
Из прямоугольного треугольника  СDВ:
ЗАДАЧА:

Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно  8 см, а площадь – 24 см2.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
По теореме Пифагора:

АВ2 = АЕ2 + ВЕ2 =

= (1/2 ∙ 8)2 + 62 = 52 (см2).

АВ = √͞͞͞͞͞52 =  2√͞͞͞͞͞13 (см).

ЗАДАЧА:

Периметр равнобедренного треугольника равен  18 см, а высота, опущенная на основание, – 3 см. Найдите площадь треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Обозначим:
 AD = DC = x,
x2 + 9 = (9 – x)2,

48x = 72, x = 4 (см),

S = 1/2 ∙ 2x ∙ 3 = 4 ∙ 3 = 12 (см2).

ЗАДАЧА:

Высота равнобедренного треугольника равна  18 см, а радиус, вписанной в него окружности – 5 см. Найдите площадь треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
В треугольнике  АВС  (АВ = ВС), отрезок  ВD – высота, ВD = 18 см, точка  О – центр вписанной окружности.

Так как  ∆ АВС – равнобедренный, то точка  О  принадлежит его высоте и биссектрисе  ВD, а отрезок  ОD – радиус вписанной окружности,

ОD = 5 см.

Тогда

ВО = ВD – ОD = 13 см.

Центром окружности, вписанной в треугольник, будет точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда отрезок  АО – биссектриса треугольника  АDВ.

По свойству биссектрисы треугольника
Пусть  АВ = 13х см, х ˃ 0,

тогда  АD = 5х см.

Из  ∆ АDВ (∠ АDВ = 90°):

АВ2 – АD2 = ВD2,

169х2 – 25х2 = 182,

144х2 = 182, 12х = 18,

х = 1,5.

Поэтому, АD = 7,5 см. Тогда

S∆АВС = 1/2 ∙ АС ∙ ВD =

= АD ∙  ВD =

= 7,5 ∙ 18 = 135 (см2).

ОТВЕТ:  135 см2

ЗАДАЧА:

Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в соотношении  8 : 9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите периметр треугольника, если радиус вписанной окружности равен  16 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – равнобедренный треугольник (АВ = ВС)
с центром вписанной окружности  О,

К  и  D – точки касания окружности до сторон  ВС  и  АС,

ВD – высота треугольника.

СК : КВ = 8 : 9.

Пусть  СК = 8х см, тогда

ВК = 9х см,

ВС = 8х + 9х = 17х (см).

По свойству касательных, проведенных из одной точки до окружности,

СD = СК = 8х.

Полупериметр треугольника  АВС  равен

р = ВС + СD =

= 17х + 8х = 25х (см).
S∆АВС = 1/2 ∙ АС ∙ ВD  и  
S∆АВС = рr,

откуда:

8х ∙ 15х = 25х ∙ 16, х = 10/3.

Р∆АВС = 2р = 50х = 50 ∙ 10/3 =

= 500/3 = 166 2/3 (см).

ОТВЕТ:  166 2/3  см

Задания к уроку 6
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)